ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 28.97 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все натуральные значения \( n \), при которых значение выражений является целым числом:

1) \(\frac{5n^2 + 3n + 10}{n};\)

2) \(\frac{n^3 — 6n^2 + 32}{n^2};\)

3) \(\frac{12n + 11}{3n — 2}.\)

Найти все значения \( n \), при которых является целым числом выражение:

1)
\(
\frac{5n^2 + 3n + 10}{n} = 5n + 3 + \frac{10}{n};
\)
Ответ: 1; 2; 5; 10.

2)
\(
\frac{n^3 — 6n^2 + 32}{n^2} = n — 6 + \frac{32}{n^2};
\)
\(
n^2 = 1, 2, 4, 8, 16, 32;
\)
\(
n = 1, \sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2};
\)
Ответ: 1; 2; 4.

3)
\(
\frac{12n + 11}{3n — 2} = \frac{12n — 8 + 19}{3n — 2};
\)
\(
\frac{12n + 11}{3n — 2} = 4 + \frac{19}{3n — 2};
\)
\(
3n — 2 = 1, \quad 3n = 3, \quad n = 1;
\)
\(
3n — 2 = 19, \quad 3n = 21, \quad n = 7;
\)
Ответ: 1; 7.

1) Для первого выражения

\(
\frac{5n^2 + 3n + 10}{n}
\)

мы можем разложить его следующим образом:

\(
\frac{5n^2 + 3n + 10}{n} = 5n + 3 + \frac{10}{n}.
\)

Чтобы выражение было целым числом, необходимо, чтобы \(\frac{10}{n}\) также было целым числом. Это возможно, если \(n\) является делителем числа 10. Делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Таким образом, натуральные значения \(n\), при которых выражение является целым числом:

Ответ: 1; 2; 5; 10.

2) Для второго выражения

\(
\frac{n^3 — 6n^2 + 32}{n^2}
\)

мы можем разложить его следующим образом:

\(
\frac{n^3 — 6n^2 + 32}{n^2} = n — 6 + \frac{32}{n^2}.
\)

Чтобы выражение было целым числом, необходимо, чтобы \(\frac{32}{n^2}\) также было целым числом. Это возможно, если \(n^2\) является делителем числа 32. Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Соответственно, возможные значения \(n\):

\(
n^2 = 1 \Rightarrow n = 1,
\)
\(
n^2 = 4 \Rightarrow n = 2,
\)
\(
n^2 = 16 \Rightarrow n = 4.
\)

Таким образом, натуральные значения \(n\), при которых выражение является целым числом:

Ответ: 1; 2; 4.

3) Для третьего выражения

\(
\frac{12n + 11}{3n — 2}
\)

мы можем разложить его следующим образом:

\(
\frac{12n + 11}{3n — 2} = 4 + \frac{19}{3n — 2}.
\)

Чтобы выражение было целым числом, необходимо, чтобы \(\frac{19}{3n — 2}\) также было целым числом. Это возможно, если \(3n — 2\) является делителем числа 19. Делители числа 19: ±1, ±19.

Рассмотрим два случая:

1) \(3n — 2 = 1\):

\(
3n = 3 \Rightarrow n = 1.
\)

2) \(3n — 2 = 19\):

\(
3n = 21 \Rightarrow n = 7.
\)

Таким образом, натуральные значения \(n\), при которых выражение является целым числом:

Ответ: 1; 7.