ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 29.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \(X\) имеет геометрическое распределение с параметром \(p = \frac{1}{5}\). Найдите распределение вероятностей случайной величины \(Y = (-1)^X\).

Дана случайная величина \(x\):
\(
p = \frac{1}{5}, \quad q = 1 — p = 1 — \frac{1}{5} = \frac{4}{5};
\)

1) Распределение величины \(y\):
\(
y = (-1)^x, \quad y = -1, \quad x = 2n + 1;
\)

2) Вероятность первого значения:
\(
P(y = -1) = P(x = 1) + P(x = 3) + P(x = 5) + \ldots =
\)
\(
= p + q^2 p + q^4 p + \ldots = p(1 + q^2 + q^4 + \ldots) =
\)

\(
= p \cdot \frac{1}{1 — q^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 — \frac{16}{25}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{9}{25}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{9} = \frac{5}{9};
\)

3) Вероятность второго значения:
\(
P(y = 1) = 1 — P(y = -1) = 1 — \frac{5}{9} = \frac{4}{9};
\)

Ответ:
\(
P(y = -1) = \frac{5}{9}; \quad P(y = 1) = \frac{4}{9}.
\)

Дана случайная величина \(x\), которая имеет геометрическое распределение с параметром \(p = \frac{1}{5}\). Вероятность того, что событие не произойдет, равна:
\(
q = 1 — p = 1 — \frac{1}{5} = \frac{4}{5};
\)

1) Рассмотрим распределение величины \(y\):
\(
y = (-1)^x.
\)

Значения \(y\) зависят от значений \(x\). Если \(x\) — четное, то \(y = 1\); если \(x\) — нечетное, то \(y = -1\). Таким образом, можно записать:
\(
y = -1 \quad \text{при} \quad x = 2n + 1 \quad (n = 0, 1, 2, \ldots),
\)
где \(n\) — любое неотрицательное целое число.

2) Теперь найдем вероятность первого значения:
\(
P(y = -1) = P(x = 1) + P(x = 3) + P(x = 5) + \ldots.
\)

Это можно выразить как:
\(
P(y = -1) = p + q^2 p + q^4 p + \ldots.
\)

Эта сумма представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию, поэтому можем записать:
\(
P(y = -1) = p(1 + q^2 + q^4 + \ldots).
\)

Сумма бесконечной геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:
\(
S = \frac{a}{1 — r},
\)
где \(a\) — первый член прогрессии, а \(r\) — знаменатель. В нашем случае:
\(
P(y = -1) = p \cdot \frac{1}{1 — q^2}.
\)

Теперь подставим значения:
\(
P(y = -1) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2}.
\)

Вычислим \(1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2\):
\(
= 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}.
\)

Теперь подставим это в формулу:
\(
P(y = -1) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{9}{25}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{9} = \frac{5}{9}.
\)

3) Вероятность второго значения:
\(
P(y = 1) = 1 — P(y = -1).
\)

Подставим найденное значение:
\(
P(y = 1) = 1 — \frac{5}{9} = \frac{9}{9} — \frac{5}{9} = \frac{4}{9}.
\)

Таким образом, окончательные вероятности:
Ответ:
\(
P(y = -1) = \frac{5}{9}; \quad P(y = 1) = \frac{4}{9}.
\)