ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 29.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Трое игроков по очереди бросают монету. Выиграет тот, у кого первым выпадет герб. Найти вероятность выигрыша второго игрока.

Одну монету бросают три игрока:
\(
p = \frac{1}{2}, \quad q = 1 — p = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};
\)

1) Победит второй игрок:
\(
x = 3n + 2;
\)

2) Вероятность этого значения:
\(
P = P(x = 2) + P(x = 5) + P(x = 8) + \ldots = q p + q^4 p + q^7 p + \ldots =
\)
\(
= p(q + q^4 + q^7 + \ldots) =
\)

\(
= p \cdot \frac{q}{1 — q^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1 — \frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} = \frac{2}{7};
\)

Ответ:
\(
\frac{2}{7}.
\)

Одну монету бросают три игрока. Вероятность выпадения «орла» (или «решки») при каждом броске равна:
\(
p = \frac{1}{2}, \quad q = 1 — p = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
\)

1) Рассмотрим, когда победит второй игрок. Это произойдет, если второй игрок выиграет в 2-й, 5-й, 8-й и так далее бросках. То есть можно записать:
\(
x = 3n + 2,
\)
где \(n\) — неотрицательное целое число (0, 1, 2, …).

2) Теперь найдем вероятность того, что второй игрок победит:
\(
P = P(x = 2) + P(x = 5) + P(x = 8) + \ldots.
\)

Эту вероятность можно выразить через суммы:
\(
P = q p + q^4 p + q^7 p + \ldots.
\)

Это можно записать как:
\(
P = p(q + q^4 + q^7 + \ldots).
\)

Сумма \(q + q^4 + q^7 + \ldots\) является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом \(q\) и знаменателем \(q^3\). Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле:
\(
S = \frac{a}{1 — r},
\)
где \(a\) — первый член, а \(r\) — знаменатель прогрессии.

Таким образом:
\(
S = \frac{q}{1 — q^3}.
\)

Теперь подставим это в выражение для \(P\):
\(
P = p \cdot \frac{q}{1 — q^3}.
\)

Подставим значения \(p\) и \(q\):
\(
P = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^3}.
\)

Вычислим:
\(
P = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1 — \frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}}.
\)

Упростим:
\(
P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} = \frac{2}{7}.
\)

Ответ:
\(
P = \frac{2}{7}.
\)