ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Равносильны ли неравенства:

1) \( 7^{2x+4} > 7^{x-1} \) и \( 2x+4 > x-1 \);

2) \( 0.9^{x^2-4} < 0.9^{x+2} \) и \( x^2-4 < x+2 \);

3) \( a^x > a^5, \quad a > 1, \quad x > 5 \);

4) \( a^x < a^{-3}, \quad 0 < a < 1, \quad x < -3 \).

Равносильны ли неравенства:

1) \( 7^{2x+4} > 7^{x-1} \) и \( 2x+4 > x-1 \);
\( 7 > 1, 2x+4 > x-1 \);
Ответ: да.

2) \( 0,9^{x^2-4} < 0,9^{x+2} \) и \( x^2 — 4 < x+2 \);
\( 0 < 0,9 < 1, x^2-4 > x+2 \);
Ответ: нет.

3) \( a^x > a^5 \), где \( a > 1 \) и \( x > 5 \);
\( a > 1, x > 5 \);
Ответ: да.

4) \( a^x < a^{-3} \), где \( 0 < a < 1 \) и \( x < -3 \);
\( 0 < a < 1, x > -3 \);
Ответ: нет.

Рассмотрим каждое из неравенств подробно.

1) \( 7^{2x+4} > 7^{x-1} \) и \( 2x+4 > x-1 \)

Так как основание \( 7 > 1 \), функция \( 7^x \) является строго возрастающей. Следовательно, знак неравенства между степенями сохраняется, если сравнивать их показатели. Уравнение \( 7^{2x+4} > 7^{x-1} \) равносильно \( 2x+4 > x-1 \).

Решим неравенство \( 2x+4 > x-1 \):
\( 2x — x > -1 — 4 \)
\( x > -5 \).

Таким образом, оба неравенства равносильны, так как они приводят к одинаковому условию для \( x \).

Ответ: да.

2) \( 0,9^{x^2-4} < 0,9^{x+2} \) и \( x^2 — 4 < x+2 \)

Основание \( 0,9 \) меньше единицы (\( 0 < 0,9 < 1 \)), а функция \( a^x \), где \( 0 < a < 1 \), является строго убывающей. Это означает, что знак неравенства между степенями меняется на противоположный. То есть, \( 0,9^{x^2-4} < 0,9^{x+2} \) равносильно \( x^2-4 > x+2 \).

Решим неравенство \( x^2-4 > x+2 \):
\( x^2 — x — 6 > 0 \).
Разложим на множители:
\( (x-3)(x+2) > 0 \).

Решение методом интервалов:
\( x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \).

Теперь сравним с \( x^2 — 4 < x+2 \), которое равносильно \( x^2 — x — 6 < 0 \):
\( (x-3)(x+2) < 0 \).

Решение методом интервалов:
\( x \in (-2, 3) \).

Таким образом, неравенства не равносильны, так как первое приводит к \( x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \), а второе — к \( x \in (-2, 3) \).

Ответ: нет.

3) \( a^x > a^5 \), где \( a > 1 \) и \( x > 5 \)

Так как основание \( a > 1 \), функция \( a^x \) является строго возрастающей. Следовательно, знак неравенства между степенями сохраняется, если сравнивать их показатели. Уравнение \( a^x > a^5 \) равносильно \( x > 5 \).

Условие \( a > 1 \) и \( x > 5 \) совпадает с результатом преобразования.

Ответ: да.

4) \( a^x < a^{-3} \), где \( 0 < a < 1 \) и \( x < -3 \)

Основание \( a \) меньше единицы (\( 0 < a < 1 \)), а функция \( a^x \), где \( 0 < a < 1 \), является строго убывающей. Это означает, что знак неравенства между степенями меняется на противоположный. То есть, \( a^x < a^{-3} \) равносильно \( x > -3 \).

Однако в условии сказано, что \( x < -3 \). Это противоречит результату преобразования, так как \( x > -3 \) и \( x < -3 \) одновременно быть не может.

Ответ: нет.