ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( 3^{(x+2)} — 4 \cdot 3^x < 45 \)

2) \( \left( \frac{1}{2} \right)^{(x-2)} — \left( \frac{1}{2} \right)^x < 3 \)

3) \( 5^x + 5^{(x-1)} — 5^{(x-2)} > 145 \)

4) \( \left( \frac{2}{3} \right)^x + \left( \frac{2}{3} \right)^{(x-1)} < \frac{5}{3} \)

1) \(3^{x+2} — 4 \cdot 3^x < 45;\)
\(3^2 \cdot 3^x — 4 \cdot 3^x < 45;\)
\(3^x \cdot (9 — 4) < 45;\)
\(3^x \cdot 5 < 45;\)
\(3^x < 9;\)
\(3^x < 3^2;\)
\(x < 2;\)

Ответ: \((- \infty; 2)\).

2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3;\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3;\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot (4 — 1) \leq 3;\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 3 \leq 3;\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1;\)
\(x \geq 0;\)

Ответ: \([0; +\infty)\).

3) \(5^x + 5^{x-1} — 5^{x-2} > 145;\)
\(5^x + 5^x \cdot 5^{-1} — 5^x \cdot 5^{-2} > 145;\)
\(5^x \cdot \left(1 + \frac{1}{5} — \frac{1}{25}\right) > 145;\)
\(5^x \cdot \frac{29}{25} > 145;\)
\(5^x > 125;\)
\(5^x > 5^3;\)
\(x > 3;\)

Ответ: \((3; +\infty)\).

4) \(\left(\frac{2}{3}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} < \frac{5}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \frac{3}{2} < \frac{5}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(1 + \frac{3}{2}\right) < \frac{5}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \frac{5}{2} < \frac{5}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{2}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x < \left(\frac{2}{3}\right)^1;\)
\(x > 1;\)

Ответ: \((1; +\infty)\).

1) \(3^{x+2} — 4 \cdot 3^x < 45\)

Применяем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\), чтобы разложить \(3^{x+2}\):
\(3^2 \cdot 3^x — 4 \cdot 3^x < 45\)

Выносим \(3^x\) за скобки:
\(3^x \cdot (9 — 4) < 45\)

Упрощаем выражение в скобках:
\(3^x \cdot 5 < 45\)

Делим обе части неравенства на \(5\):
\(3^x < 9\)

Разлагаем \(9\) как степень числа \(3\):
\(3^x < 3^2\)

Так как основания равны, то сравниваем показатели степени:
\(x < 2\)

Ответ: \((- \infty; 2)\).

2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3\)

Применяем свойство степеней \(a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}\), чтобы разложить \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3\)

Вычисляем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 4 — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3\)

Выносим \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) за скобки:
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot (4 — 1) \leq 3\)

Упрощаем выражение в скобках:
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 3 \leq 3\)

Делим обе части неравенства на \(3\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1\)

Разлагаем \(1\) как степень числа \(\frac{1}{2}\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^0\)

Так как основания равны, то сравниваем показатели степени:
\(x \geq 0\)

Ответ: \([0; +\infty)\).

3) \(5^x + 5^{x-1} — 5^{x-2} > 145\)

Применяем свойство степеней \(a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}\), чтобы разложить \(5^{x-1}\) и \(5^{x-2}\):
\(5^x + 5^x \cdot 5^{-1} — 5^x \cdot 5^{-2} > 145\)

Выносим \(5^x\) за скобки:
\(5^x \cdot \left(1 + \frac{1}{5} — \frac{1}{25}\right) > 145\)

Приводим выражение в скобках к общему знаменателю:
\(5^x \cdot \frac{25}{25} + 5^x \cdot \frac{5}{25} — 5^x \cdot \frac{1}{25} > 145\)
\(5^x \cdot \frac{29}{25} > 145\)

Делим обе части неравенства на \(\frac{29}{25}\):
\(5^x > 125\)

Разлагаем \(125\) как степень числа \(5\):
\(5^x > 5^3\)

Так как основания равны, то сравниваем показатели степени:
\(x > 3\)

Ответ: \((3; +\infty)\).

4) \(\left(\frac{2}{3}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} < \frac{5}{3}\)

Применяем свойство степеней \(a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}\), чтобы разложить \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1}\):
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \frac{3}{2} < \frac{5}{3}\)

Выносим \(\left(\frac{2}{3}\right)^x\) за скобки:
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(1 + \frac{3}{2}\right) < \frac{5}{3}\)

Упрощаем выражение в скобках:
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \frac{5}{2} < \frac{5}{3}\)

Делим обе части неравенства на \(\frac{5}{2}\):
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{2}{3}\)

Разлагаем \(\frac{2}{3}\) как степень числа \(\frac{2}{3}\):
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x < \left(\frac{2}{3}\right)^1\)

Так как основания равны, то сравниваем показатели степени:
\(x > 1\)

Ответ: \((1; +\infty)\).