Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( 3^{(x+2)} — 4 \cdot 3^x < 45 \)
2) \( \left( \frac{1}{2} \right)^{(x-2)} — \left( \frac{1}{2} \right)^x < 3 \)
3) \( 5^x + 5^{(x-1)} — 5^{(x-2)} > 145 \)
4) \( \left( \frac{2}{3} \right)^x + \left( \frac{2}{3} \right)^{(x-1)} < \frac{5}{3} \)
1) \(3^{x+2} — 4 \cdot 3^x < 45;\)
\(3^2 \cdot 3^x — 4 \cdot 3^x < 45;\)
\(3^x \cdot (9 — 4) < 45;\)
\(3^x \cdot 5 < 45;\)
\(3^x < 9;\)
\(3^x < 3^2;\)
\(x < 2;\)
Ответ: \((- \infty; 2)\).
2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3;\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3;\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot (4 — 1) \leq 3;\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 3 \leq 3;\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1;\)
\(x \geq 0;\)
Ответ: \([0; +\infty)\).
3) \(5^x + 5^{x-1} — 5^{x-2} > 145;\)
\(5^x + 5^x \cdot 5^{-1} — 5^x \cdot 5^{-2} > 145;\)
\(5^x \cdot \left(1 + \frac{1}{5} — \frac{1}{25}\right) > 145;\)
\(5^x \cdot \frac{29}{25} > 145;\)
\(5^x > 125;\)
\(5^x > 5^3;\)
\(x > 3;\)
Ответ: \((3; +\infty)\).
4) \(\left(\frac{2}{3}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} < \frac{5}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \frac{3}{2} < \frac{5}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(1 + \frac{3}{2}\right) < \frac{5}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \frac{5}{2} < \frac{5}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{2}{3};\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x < \left(\frac{2}{3}\right)^1;\)
\(x > 1;\)
Ответ: \((1; +\infty)\).
1) \(3^{x+2} — 4 \cdot 3^x < 45\)
Применяем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\), чтобы разложить \(3^{x+2}\):
\(3^2 \cdot 3^x — 4 \cdot 3^x < 45\)
Выносим \(3^x\) за скобки:
\(3^x \cdot (9 — 4) < 45\)
Упрощаем выражение в скобках:
\(3^x \cdot 5 < 45\)
Делим обе части неравенства на \(5\):
\(3^x < 9\)
Разлагаем \(9\) как степень числа \(3\):
\(3^x < 3^2\)
Так как основания равны, то сравниваем показатели степени:
\(x < 2\)
Ответ: \((- \infty; 2)\).
2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3\)
Применяем свойство степеней \(a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}\), чтобы разложить \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3\)
Вычисляем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 4 — \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 3\)
Выносим \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) за скобки:
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot (4 — 1) \leq 3\)
Упрощаем выражение в скобках:
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 3 \leq 3\)
Делим обе части неравенства на \(3\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1\)
Разлагаем \(1\) как степень числа \(\frac{1}{2}\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^0\)
Так как основания равны, то сравниваем показатели степени:
\(x \geq 0\)
Ответ: \([0; +\infty)\).
3) \(5^x + 5^{x-1} — 5^{x-2} > 145\)
Применяем свойство степеней \(a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}\), чтобы разложить \(5^{x-1}\) и \(5^{x-2}\):
\(5^x + 5^x \cdot 5^{-1} — 5^x \cdot 5^{-2} > 145\)
Выносим \(5^x\) за скобки:
\(5^x \cdot \left(1 + \frac{1}{5} — \frac{1}{25}\right) > 145\)
Приводим выражение в скобках к общему знаменателю:
\(5^x \cdot \frac{25}{25} + 5^x \cdot \frac{5}{25} — 5^x \cdot \frac{1}{25} > 145\)
\(5^x \cdot \frac{29}{25} > 145\)
Делим обе части неравенства на \(\frac{29}{25}\):
\(5^x > 125\)
Разлагаем \(125\) как степень числа \(5\):
\(5^x > 5^3\)
Так как основания равны, то сравниваем показатели степени:
\(x > 3\)
Ответ: \((3; +\infty)\).
4) \(\left(\frac{2}{3}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1} < \frac{5}{3}\)
Применяем свойство степеней \(a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}\), чтобы разложить \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x-1}\):
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \frac{3}{2} < \frac{5}{3}\)
Выносим \(\left(\frac{2}{3}\right)^x\) за скобки:
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(1 + \frac{3}{2}\right) < \frac{5}{3}\)
Упрощаем выражение в скобках:
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \frac{5}{2} < \frac{5}{3}\)
Делим обе части неравенства на \(\frac{5}{2}\):
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x < \frac{2}{3}\)
Разлагаем \(\frac{2}{3}\) как степень числа \(\frac{2}{3}\):
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x < \left(\frac{2}{3}\right)^1\)
Так как основания равны, то сравниваем показатели степени:
\(x > 1\)
Ответ: \((1; +\infty)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.