ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( 3^{2x} — 4 \cdot 3^x — 45 > 0 \)

2) \( 4^x + 2^{x+3} — 20 < 0 \)

3) \( 49^x — 8 \cdot 7^x + 7 < 0 \)

4) \( 0.25^x — 12 \cdot 0.5^x + 32 > 0 \)

5) \( 6^{2x-1} — \frac{1}{3} \cdot 6^x — 4 < 0 \)

6) \( 25^x + 5^x — 30 > 0 \)

1) \(3^{2x} — 4 \cdot 3^x — 45 > 0;\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 45 = 16 + 180 = 196,\) тогда:
\(3^{x_1} = \frac{-4 — 14}{2} = -5\) и \(3^{x_2} = \frac{-4 + 14}{2} = 9;\)
\(x_1 \notin \text{пустое множество}\) и \(x_2 = 2;\)
\(x — 2 > 0;\)
\(x > 2;\)

Ответ: \((2; +\infty)\).

2) \(4^x + 2^{x+3} — 20 < 0;\)
\(2^{2x} + 8 \cdot 2^x — 20 < 0;\)
\(D = 8^2 + 4 \cdot 20 = 64 + 80 = 144,\) тогда:
\(2^{x_1} = \frac{-8 — 12}{2} = -10\) и \(2^{x_2} = \frac{-8 + 12}{2} = 2;\)
\(x_1 \notin \text{пустое множество}\) и \(x_2 = 1;\)
\(x — 1 < 0;\)
\(x < 1;\)

Ответ: \((- \infty; 1)\).

3) \(49^x — 8 \cdot 7^x + 7 \leq 0;\)
\(7^{2x} — 8 \cdot 7^x + 7 \leq 0;\)
\(D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36,\) тогда:
\(7^{x_1} = \frac{8 — 6}{2} = 1\) и \(7^{x_2} = \frac{8 + 6}{2} = 7;\)
\(7^{x_1} = 1;\)
\((x — 0)(x — 1) \leq 0;\)
\(0 \leq x \leq 1;\)

Ответ: \([0; 1]\).

4) \(0,25^x — 12 \cdot 0,5^x + 32 \geq 0;\)
\(0,5^{2x} — 12 \cdot 0,5^x + 32 \geq 0;\)
\(D = 12^2 — 4 \cdot 32 = 144 — 128 = 16,\) тогда:
\(0,5^{x_1} = \frac{12 — 4}{2} = 4\) и \(0,5^{x_2} = \frac{12 + 4}{2} = 8;\)
\(x_1 = -2\) и \(x_2 = -3;\)
\((x + 3)(x + 2) \geq 0;\)
\(x \leq -3,\ x \geq -2;\)

Ответ: \((-\infty; -3] \cup [-2; +\infty)\).

5) \(6^{2x-1} — \frac{1}{3} \cdot 6^x — 4 \leq 0;\)
\(\frac{1}{6} \cdot 6^{2x} — \frac{1}{3} \cdot 6^x — 4 \leq 0;\)
\(6^{2x} — 2 \cdot 6^x — 24 \leq 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100,\) тогда:
\(6^{x_1} = \frac{-2 — 10}{2} = -4\) и \(6^{x_2} = \frac{-2 + 10}{2} = 6;\)
\(x_1 \notin \text{пустое множество}\) и \(x_2 = 1;\)
\(x — 1 \leq 0;\)
\(x \leq 1;\)

Ответ: \((-\infty; 1]\).

6) \(25^x + 5^x — 30 \geq 0;\)
\(5^{2x} + 5^x — 30 \geq 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 30 = 1 + 120 = 121,\) тогда:
\(5^{x_1} = \frac{-1 — 11}{2} = -6\) и \(5^{x_2} = \frac{-1 + 11}{2} = 5;\)
\(x_1 \notin \text{пустое множество}\) и \(x_2 = 1;\)
\(x — 1 \geq 0;\)
\(x \geq 1;\)

Ответ: \([1; +\infty)\).

1) Рассмотрим неравенство \(3^{2x} — 4 \cdot 3^x — 45 > 0\).
Сделаем замену \(t = 3^x\), тогда \(t > 0\), и неравенство перепишется как:
\(t^2 — 4t — 45 > 0\).

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196\).

Корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{196}}{2} = \frac{4 — 14}{2} = -5\),
\(t_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2} = \frac{4 + 14}{2} = 9\).

Так как \(t > 0\), корень \(t_1 = -5\) нам не подходит.
Остается \(t_2 = 9\), то есть \(3^x = 9\).

Решаем \(3^x = 9\):
\(x = 2\).

Неравенство \(t^2 — 4t — 45 > 0\) имеет решение на промежутках, где парабола положительна:
\(t \in (9; +\infty)\).

Возвращаемся к переменной \(x\):
\(x > 2\).

Ответ: \((2; +\infty)\).

2) Рассмотрим неравенство \(4^x + 2^{x+3} — 20 < 0\).
Перепишем его в виде:
\(2^{2x} + 8 \cdot 2^x — 20 < 0\).

Сделаем замену \(t = 2^x\), тогда \(t > 0\), и неравенство перепишется как:
\(t^2 + 8t — 20 < 0\).

Рассчитаем дискриминант:
\(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144\).

Корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-8 — \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 — 12}{2} = -10\),
\(t_2 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 + 12}{2} = 2\).

Так как \(t > 0\), корень \(t_1 = -10\) нам не подходит.
Остается \(t_2 = 2\), то есть \(2^x = 2\).

Решаем \(2^x = 2\):
\(x = 1\).

Неравенство \(t^2 + 8t — 20 < 0\) имеет решение на промежутке, где парабола отрицательна:
\(t \in (0; 2)\).

Возвращаемся к переменной \(x\):
\(x < 1\).

Ответ: \((-\infty; 1)\).

3) Рассмотрим неравенство \(49^x — 8 \cdot 7^x + 7 \leq 0\).
Перепишем его в виде:
\(7^{2x} — 8 \cdot 7^x + 7 \leq 0\).

Сделаем замену \(t = 7^x\), тогда \(t > 0\), и неравенство перепишется как:
\(t^2 — 8t + 7 \leq 0\).

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36\).

Корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{36}}{2} = \frac{8 — 6}{2} = 1\),
\(t_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7\).

Неравенство \(t^2 — 8t + 7 \leq 0\) имеет решение на промежутке, где парабола неположительна:
\(t \in [1; 7]\).

Возвращаемся к переменной \(x\):
\(7^x = 1\), тогда \(x = 0\).
\(7^x = 7\), тогда \(x = 1\).

Ответ: \([0; 1]\).

4) Рассмотрим неравенство \(0,25^x — 12 \cdot 0,5^x + 32 \geq 0\).
Перепишем его в виде:
\(0,5^{2x} — 12 \cdot 0,5^x + 32 \geq 0\).

Сделаем замену \(t = 0,5^x\), тогда \(t > 0\), и неравенство перепишется как:
\(t^2 — 12t + 32 \geq 0\).

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 — 128 = 16\).

Корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-(-12) — \sqrt{16}}{2} = \frac{12 — 4}{2} = 4\),
\(t_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = 8\).

Неравенство \(t^2 — 12t + 32 \geq 0\) имеет решение на промежутках, где парабола неотрицательна:
\(t \in (0; 4] \cup [8; +\infty)\).

Возвращаемся к переменной \(x\):
\(0,5^x = 4\), тогда \(x = -2\).
\(0,5^x = 8\), тогда \(x = -3\).

Ответ: \((-\infty; -3] \cup [-2; +\infty)\).

5) Рассмотрим неравенство \(6^{2x-1} — \frac{1}{3} \cdot 6^x — 4 \leq 0\).
Перепишем его в виде:
\(\frac{1}{6} \cdot 6^{2x} — \frac{1}{3} \cdot 6^x — 4 \leq 0\),
или
\(6^{2x} — 2 \cdot 6^x — 24 \leq 0\).

Сделаем замену \(t = 6^x\), тогда \(t > 0\), и неравенство перепишется как:
\(t^2 — 2t — 24 \leq 0\).

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\).

Корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{100}}{2} = \frac{2 — 10}{2} = -4\),
\(t_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6\).

Так как \(t > 0\), корень \(t_1 = -4\) нам не подходит.
Остается \(t_2 = 6\), то есть \(6^x = 6\).

Решаем \(6^x = 6\):
\(x = 1\).

Неравенство \(t^2 — 2t — 24 \leq 0\) имеет решение на промежутке, где парабола неположительна:
\(t \in (0; 6]\).

Возвращаемся к переменной \(x\):
\(x \leq 1\).

Ответ: \((-\infty; 1]\).

6) Рассмотрим неравенство \(25^x + 5^x — 30 \geq 0\).
Перепишем его в виде:
\(5^{2x} + 5^x — 30 \geq 0\).

Сделаем замену \(t = 5^x\), тогда \(t > 0\), и неравенство перепишется как:
\(t^2 + t — 30 \geq 0\).

Рассчитаем дискриминант:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121\).

Корни квадратного уравнения:
\(t_1 = \frac{-1 — \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 — 11}{2} = -6\),
\(t_2 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = 5\).

Так как \(t > 0\), корень \(t_1 = -6\) нам не подходит.
Остается \(t_2 = 5\), то есть \(5^x = 5\).

Решаем \(5^x = 5\):
\(x = 1\).

Неравенство \(t^2 + t — 30 \geq 0\) имеет решение на промежутках, где парабола неотрицательна:
\(t \in [5; +\infty)\).

Возвращаемся к переменной \(x\):
\(x \geq 1\).

Ответ: \([1; +\infty)\).