ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( 9^{(x+1)} — 2 \cdot 3^x — 7 < 0 \)

2) \( 2^x + 2^{(x/2)} — 72 > 0 \)

3) \( \left( \frac{1}{4} \right)^x — 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^x + 2 > 0 \)

4) \( 25^x — 26 \cdot 5^x + 25 < 0 \)

1) \(9^{x+1} — 2 \cdot 3^x — 7 < 0\):
Замена \(t = 3^x\), \(9t^2 — 2t — 7 < 0\).
Корни: \(t_1 = -\frac{7}{9}\) (не подходит), \(t_2 = 1\).
Решение: \(3^x \in (0; 1) — x < 0\).
Ответ: \((-\infty; 0)\).

2) \(2^x + 2^{(x/2)} — 72 > 0\):
Замена \(t = 2^{x/2}\), \(t^2 + t — 72 > 0\).
Корни: \(t_1 = -9\) (не подходит), \(t_2 = 8\).
Решение: \(2^{x/2} > 8 — x > 6\).
Ответ: \([6; +\infty)\).

3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^x — 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 > 0\):
Замена \(t = \left(\frac{1}{2}\right)^x\), \(t^2 — 3t + 2 > 0\).
Корни: \(t_1 = 1\), \(t_2 = 2\).
Решение: \(t \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)\).
Возвращаясь: \(x < -1 \cup x > 0\).
Ответ: \((-\infty; -1) \cup (0; +\infty)\).

4) \(25^x — 26 \cdot 5^x + 25 < 0\):
Замена \(t = 5^x\), \(t^2 — 26t + 25 < 0\).
Корни: \(t_1 = 1\), \(t_2 = 25\).
Решение: \(t \in (1; 25)\).
Возвращаясь: \(x \in (0; 2)\).
Ответ: \([0; 2]\).

1) Решение неравенства \(9^{(x+1)} — 2 \cdot 3^x — 7 < 0\):

Приведем выражение к удобному виду, используя \(9 = 3^2\):
\(
9^{(x+1)} = 9 \cdot 3^{2x}, \quad \text{поэтому:} \quad 9 \cdot 3^{2x} — 2 \cdot 3^x — 7 < 0.
\)

Введем замену \(t = 3^x\), тогда \(3^{2x} = t^2\). Получаем квадратное неравенство:
\(
9t^2 — 2t — 7 < 0.
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-7) = 4 + 252 = 256.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{256}}{2 \cdot 9} = \frac{2 — 16}{18} = -\frac{7}{9}, \quad t_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{256}}{2 \cdot 9} = \frac{2 + 16}{18} = 1.
\)

Так как \(t = 3^x > 0\), корень \(t_1 = -\frac{7}{9}\) не подходит. Остается \(t_2 = 1\), что соответствует:
\(
t \in (0; 1).
\)

Возвращаясь к замене \(t = 3^x\), имеем:
\(
3^x \in (0; 1) — x < 0.
\)

Ответ: \((-\infty; 0]\).

2) Решение неравенства \(2^x + 2^{(x/2)} — 72 > 0\):

Введем замену \(t = 2^{(x/2)}\), тогда \(2^x = t^2\). Получаем:
\(
t^2 + t — 72 > 0.
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-1 — \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 — 17}{2} = -9, \quad t_2 = \frac{-1 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-1 + 17}{2} = 8.
\)

Так как \(t = 2^{(x/2)} > 0\), корень \(t_1 = -9\) не подходит. Остается \(t_2 = 8\), что соответствует:
\(
t \in (8; +\infty).
\)

Возвращаясь к замене \(t = 2^{(x/2)}\), имеем:
\(
2^{(x/2)} > 8 — x > 6.
\)

Ответ: \([6; +\infty)\).

3) Решение неравенства \(\left(\frac{1}{4}\right)^x — 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 > 0\):

Приведем выражение к удобному виду, используя \(\left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}\). Тогда:
\(
\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} — 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 2 > 0.
\)

Введем замену \(t = \left(\frac{1}{2}\right)^x\), тогда \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = t^2\). Получаем квадратное неравенство:
\(
t^2 — 3t + 2 > 0.
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{1}}{2} = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)

Рассмотрим знак выражения \(t^2 — 3t + 2\). Неравенство выполняется для \(t \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)\).

Возвращаясь к замене \(t = \left(\frac{1}{2}\right)^x\), имеем:
\(
\left(\frac{1}{2}\right)^x < 1 — x > 0, \quad \left(\frac{1}{2}\right)^x > 2 — x < -1.
\)

Ответ: \((-\infty; -1) \cup (0; +\infty)\).

4) Решение неравенства \(25^x — 26 \cdot 5^x + 25 < 0\):

Приведем выражение к удобному виду, используя \(25 = 5^2\):
\(
25^x = (5^x)^2, \quad \text{поэтому:} \quad (5^x)^2 — 26 \cdot 5^x + 25 < 0.
\)

Введем замену \(t = 5^x\), тогда \((5^x)^2 = t^2\). Получаем квадратное неравенство:
\(
t^2 — 26t + 25 < 0.
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (-26)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 — 100 = 576.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-(-26) — \sqrt{576}}{2} = \frac{26 — 24}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-(-26) + \sqrt{576}}{2} = \frac{26 + 24}{2} = 25.
\)

Рассмотрим знак выражения \(t^2 — 26t + 25\). Неравенство выполняется для \(t \in (1; 25)\).

Возвращаясь к замене \(t = 5^x\), имеем:
\(
5^x \in (1; 25) — x \in (0; 2).
\)

Ответ: \([0; 2]\).