ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\frac{5^x — 125}{x^2 — 4x + 4} < 0\)

2) \(\frac{2^x — 1}{x — 1} > 0\)

1)
\(
\frac{5^x — 125}{x^2 — 4x + 4} \leq 0;
\)
\(
5^x — 5^3 \quad (x-2)^2 \leq 0;
\)
\(
x — 3 \leq 0, \quad x — 2 \neq 0;
\)
\(
x \leq 3, \quad x \neq 2;
\)
Ответ: \((-∞; 2) \cup (2; 3]\).

2)
\(
\frac{2^x — 1}{x — 1} > 0;
\)
\(
2^x — 2^0 > 0;
\)
\(
x — 1 \neq 0;
\)
\(
x — 1 > 0;
\)
\(
x < 0, \quad x > 1;
\)
Ответ: \((-∞; 0) \cup (1; +∞)\).

1)
Дано неравенство:
\(\frac{5^x — 125}{x^2 — 4x + 4} \leq 0\).

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби:
Числитель: \(5^x — 125 = 5^x — 5^3 = 5^x — 125\).
Знаменатель: \(x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2\).

Перепишем неравенство:
\((5^x — 125) \cdot (x — 2)^2 \leq 0\).

Теперь рассмотрим условия:
1. \(5^x — 125 \leq 0\):
Решим уравнение \(5^x = 125\). Поскольку \(125 = 5^3\), получаем \(x = 3\).
Следовательно, \(5^x — 125 \leq 0\) при \(x \leq 3\).

2. \((x — 2)^2 > 0\):
Поскольку квадрат любого числа всегда положителен, \((x — 2)^2 > 0\) при \(x \neq 2\).

Объединяя условия, получаем:
\(x \leq 3\) и \(x \neq 2\).

Ответ: \((-∞; 2) \cup (2; 3]\).

2)
Дано неравенство:
\(\frac{2^x — 1}{x — 1} > 0\).

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби:
Числитель: \(2^x — 1\).
Знаменатель: \(x — 1\).

Перепишем неравенство:
\((2^x — 1) \cdot (x — 1) > 0\).

Теперь рассмотрим условия:
1. \(2^x — 1 > 0\):
Решим уравнение \(2^x = 1\). Поскольку \(1 = 2^0\), получаем \(x = 0\).
Следовательно, \(2^x — 1 > 0\) при \(x > 0\).

2. \(x — 1 > 0\):
Решим уравнение \(x — 1 = 0\), получаем \(x = 1\).
Следовательно, \(x — 1 > 0\) при \(x > 1\).

Объединяя условия, получаем:
\(x < 0\) или \(x > 1\).

Ответ: \((-∞; 0) \cup (1; +∞)\).