ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1)
\(
2^{3x+1} + 0.25^{\frac{1-3x}{2}} — 4^{\frac{3x}{2}} > 192
\)

2)
\(
2^{2x-1} + 2^{2x-3} — 2^{2x-5} > 2^{7-x} + 2^{5-x} — 2^{3-x}
\)

1)
\(
2^{3x+1} + 0,25 \cdot 2^{1-3x} — 4 \cdot 2^{3x} > 192;
\)
\(
2^{3x} \cdot 2 + 2^{-2} \cdot 2^{3x} — 2^{3x} \cdot 4 > 192;
\)
\(
2 \cdot 2^{3x} + 2^{3x-1} — 2^{3x} > 192;
\)
\(
2^{3x} + 2^{3x} \cdot \frac{1}{2} > 192;
\)
\(
2^{3x} \cdot \frac{3}{2} > 192;
\)
\(
2^{3x} > 128;
\)
\(
2^{3x} > 2^7;
\)
\(
3x > 7;
\)
\(
x > \frac{7}{3};
\)

Ответ: \((\frac{7}{3}; +\infty)\).

2)
\(
2^{2x-1} + 2^{2x-3} — 2^{2x-5} > 2^{7-x} + 2^{5-x} — 2^{3-x};
\)
\(
2^{2x} \cdot \frac{1}{2} + 2^{2x} \cdot \frac{1}{8} — 2^{2x} \cdot \frac{1}{32} > 2^{-x} \cdot 128 + 2^{-x} \cdot 32 — 2^{-x} \cdot 8;
\)
\(
2^{2x} \cdot \frac{19}{32} > 2^{-x} \cdot 152;
\)
\(
2^{2x} : 2^{-x} > 256;
\)
\(
2^{2x+x} > 2^8;
\)
\(
3x > 8;
\)
\(
x > \frac{8}{3};
\)

Ответ: \((\frac{8}{3}; +\infty)\).

Дано неравенство:
\(2^{3x+1} + 0.25^{\frac{1-3x}{2}} — 4^{\frac{3x}{2}} > 192.\)

Шаг 1: Преобразование выражений
1. Представим \(0.25\) как \(2^{-2}\), тогда:
\(0.25^{\frac{1-3x}{2}} = (2^{-2})^{\frac{1-3x}{2}} = 2^{-2 \cdot \frac{1-3x}{2}} = 2^{-(1-3x)}.\)
2. Представим \(4\) как \(2^2\), тогда:
\(4^{\frac{3x}{2}} = (2^2)^{\frac{3x}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3x}{2}} = 2^{3x}.\)

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:
\(2^{3x+1} + 2^{-(1-3x)} — 2^{3x} > 192.\)

Шаг 2: Упрощение выражений
1. Разделим \(2^{3x+1}\) на \(2^{3x}\) и запишем:
\(2^{3x+1} = 2 \cdot 2^{3x}.\)
2. \(2^{-(1-3x)} = 2^{-1} \cdot 2^{3x}.\)

Подставим:
\(2 \cdot 2^{3x} + 2^{-1} \cdot 2^{3x} — 2^{3x} > 192.\)

Шаг 3: Сгруппируем подобные слагаемые
Вынесем \(2^{3x}\) за скобки:
\(2^{3x} \cdot (2 + \frac{1}{2} — 1) > 192.\)

Упростим выражение в скобках:
\(2 + \frac{1}{2} — 1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.\)

Получаем:
\(2^{3x} \cdot \frac{3}{2} > 192.\)

Шаг 4: Упростим неравенство
Умножим обе части на \(2/3\):
\(2^{3x} > 128.\)

Представим \(128\) как степень двойки:
\(128 = 2^7.\)

Следовательно:
\(2^{3x} > 2^7.\)

Приравниваем показатели степени:
\(3x > 7.\)

Разделим на \(3\):
\(x > \frac{7}{3}.\)

Ответ: \((\frac{7}{3}; +\infty)\).

Решение второго неравенства:

Дано неравенство:
\(2^{2x-1} + 2^{2x-3} — 2^{2x-5} > 2^{7-x} + 2^{5-x} — 2^{3-x}.\)

Шаг 1: Преобразование выражений
1. Представим \(2^{2x-1}\), \(2^{2x-3}\), \(2^{2x-5}\) как произведение:
\(2^{2x-1} = 2^{2x} \cdot 2^{-1}, \quad 2^{2x-3} = 2^{2x} \cdot 2^{-3}, \quad 2^{2x-5} = 2^{2x} \cdot 2^{-5}.\)
2. Представим \(2^{7-x}\), \(2^{5-x}\), \(2^{3-x}\) как произведение:
\(2^{7-x} = 2^7 \cdot 2^{-x}, \quad 2^{5-x} = 2^5 \cdot 2^{-x}, \quad 2^{3-x} = 2^3 \cdot 2^{-x}.\)

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:
\(2^{2x} \cdot 2^{-1} + 2^{2x} \cdot 2^{-3} — 2^{2x} \cdot 2^{-5} > 2^7 \cdot 2^{-x} + 2^5 \cdot 2^{-x} — 2^3 \cdot 2^{-x}.\)

Шаг 2: Сгруппируем подобные слагаемые
В левой части вынесем \(2^{2x}\) за скобки:
\(2^{2x} \cdot (2^{-1} + 2^{-3} — 2^{-5}) > 2^{-x} \cdot (2^7 + 2^5 — 2^3).\)

Шаг 3: Упростим коэффициенты
Для левой части:
\(2^{-1} + 2^{-3} — 2^{-5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} — \frac{1}{32}.\)

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8} — \frac{1}{32} = \frac{16}{32} + \frac{4}{32} — \frac{1}{32} = \frac{19}{32}.\)

Для правой части:
\(2^7 + 2^5 — 2^3 = 128 + 32 — 8 = 152.\)

Получаем:
\(2^{2x} \cdot \frac{19}{32} > 2^{-x} \cdot 152.\)

Шаг 4: Упростим неравенство
Умножим обе части на \(32\), чтобы избавиться от дроби:
\(2^{2x} \cdot 19 > 2^{-x} \cdot 152 \cdot 32.\)

Упростим правую часть:
\(152 \cdot 32 = 4864,\)
поэтому:
\(2^{2x} \cdot 19 > 2^{-x} \cdot 4864.\)

Разделим обе части на \(19\):
\(2^{2x} > 2^{-x} \cdot \frac{4864}{19}.\)

Пусть \(\frac{4864}{19} = 256\) (приближённо верно, так как \(4864 = 256 \cdot 19\)). Тогда:
\(2^{2x} > 2^{-x} \cdot 256.\)

Перепишем левую часть:
\(2^{2x} : 2^{-x} > 256.\)

Используем свойства степеней:
\(2^{2x} : 2^{-x} = 2^{2x+x} = 2^{3x},\)
поэтому:
\(2^{3x} > 256.\)

Представим \(256\) как степень двойки:
\(256 = 2^8,\)
следовательно:
\(2^{3x} > 2^8.\)

Приравниваем показатели степени:
\(3x > 8.\)

Разделим на \(3\):
\(x > \frac{8}{3}.\)

Ответ: \((\frac{8}{3}; +\infty)\).