ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( 3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x} + 3} > 84 \)

2) \( 2 \cdot 16^x — 3 \cdot 2^{4x — 1} + 7 \cdot 4^{2x — 2} < 120 \)

Решить неравенство:

1)
\(
\frac{1}{3^x} + \frac{1}{3^{x+3}} > 84;
\)
\(
\frac{1}{3^x} + \frac{1}{3^x} \cdot 27 > 84;
\)
\(
\frac{1}{3^x} \cdot 28 > 84;
\)
\(
\frac{1}{3^x} > 3;
\)
\(
\frac{1}{x} > 1;
\)
\(
1 — \frac{1}{x} < 0;
\)
\(
x — \frac{1}{x} < 0;
\)
\(
0 < x < 1;
\)

Ответ: \((0; 1)\).

2)
\(
2 \cdot 16^x — 3 \cdot 24^{x-1} + 7 \cdot 42^{x-2} \leq 120;
\)
\(
2 \cdot 16^x — 3 \cdot 16^x \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot 16^x \cdot \frac{1}{16} \leq 120;
\)
\(
16^x \cdot \left(2 — \frac{3}{2} + \frac{7}{16}\right) \leq 120;
\)
\(
16^x \cdot \frac{15}{16} \leq 120;
\)
\(
16^x \leq 128;
\)
\(
2^{4x} \leq 2^7;
\)
\(
4x \leq 7;
\)
\(
x \leq \frac{7}{4};
\)

Ответ: \((-\infty; \frac{7}{4}]\).

1) \( 3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x} + 3} > 84 \)

Разделим выражение на два слагаемых. Второе слагаемое можно представить как произведение:
\(
3^{\frac{1}{x} + 3} = 3^{\frac{1}{x}} \cdot 3^3 = 3^{\frac{1}{x}} \cdot 27
\)

Тогда неравенство перепишется в виде:
\(
3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x}} \cdot 27 > 84
\)

Вынесем \( 3^{\frac{1}{x}} \) за скобку:
\(
3^{\frac{1}{x}} \cdot (1 + 27) > 84
\)

Упростим выражение в скобках:
\(
3^{\frac{1}{x}} \cdot 28 > 84
\)

Разделим обе части на \( 28 \):
\(
3^{\frac{1}{x}} > 3
\)

Теперь сравним показатели степени. Основание \( 3 > 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется:
\(
\frac{1}{x} > 1
\)

Возьмем обратное значение обеих частей (меняя знак неравенства):
\(
x < 1
\)

Так как \( x > 0 \) (иначе дробь \( \frac{1}{x} \) теряет смысл), окончательно получаем:
\(
0 < x < 1
\)

Ответ: \( (0; 1) \).

2) \( 2 \cdot 16^x — 3 \cdot 2^{4x — 1} + 7 \cdot 4^{2x — 2} < 120 \)

Представим все основания через \( 16^x \). Заметим, что:
\(
16 = 2^4, \quad 4 = 2^2
\)

Слагаемые преобразуются следующим образом:
1. \( 16^x = 2^{4x} \),
2. \( 2^{4x — 1} = 2^{4x} \cdot \frac{1}{2} = 16^x \cdot \frac{1}{2} \),
3. \( 4^{2x — 2} = (2^2)^{2x — 2} = 2^{4x — 4} = 16^x \cdot \frac{1}{16} \).

Подставим эти выражения в исходное неравенство:
\(
2 \cdot 16^x — 3 \cdot 16^x \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot 16^x \cdot \frac{1}{16} < 120
\)

Вынесем \( 16^x \) за скобку:
\(
16^x \cdot \left(2 — \frac{3}{2} + \frac{7}{16}\right) < 120
\)

Выполним вычисления в скобках:
1. \( 2 — \frac{3}{2} = \frac{4}{2} — \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \),
2. \( \frac{1}{2} + \frac{7}{16} = \frac{8}{16} + \frac{7}{16} = \frac{15}{16} \).

Тогда неравенство примет вид:
\(
16^x \cdot \frac{15}{16} < 120
\)

Умножим обе части на \( 16 \):
\(
16^x \cdot 15 < 120 \cdot 16
\)

Посчитаем правую часть:
\(
120 \cdot 16 = 1920
\)

Получаем:
\(
16^x \cdot 15 < 1920
\)

Разделим обе части на \( 15 \):
\(
16^x < \frac{1920}{15}
\)

Посчитаем дробь:
\(
\frac{1920}{15} = 128
\)

Теперь представим \( 128 \) как степень \( 16 \):
\(
128 = 2^7, \quad 16 = 2^4, \quad 16^x = (2^4)^x = 2^{4x}
\)

Получаем:
\(
2^{4x} < 2^7
\)

Поскольку основания равны, сравним показатели:
\(
4x < 7
\)

Разделим обе части на \( 4 \):
\(
x < \frac{7}{4}
\)

Ответ: \( (-\infty; \frac{7}{4}] \).