Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( 3^x — 9 \cdot 3^{-x} — 8 > 0 \)
2) \( 2^{(x+3)} + 2^{(1-x)} < 17 \)
3) \( 6^{(x+2)} + 6^{-x} — 37 > 0 \)
4) \( \left(\frac{3}{5}\right)^{(x+1)} + \left(\frac{3}{5}\right)^{(1-x)} < \frac{6}{5} \)
1) \( 3^x — 9 \cdot 3^{-x} — 8 > 0 \);
\(
3^{2x} — 8 \cdot 3^x — 9 > 0;
\)
\(
D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100,
\)
тогда:
\(
3^x_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1 \quad \text{и} \quad 3^x_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9;
\)
\(
x_1 \notin \emptyset \quad \text{и} \quad x_2 = 2;
\)
\(
x — 2 > 0;
\)
Ответ: \( (2; +\infty) \).
2) \( 2^{x+3} + 2^{1-x} < 17 \);
\(
8 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{-x} — 17 < 0;
\)
\(
8 \cdot 2^{2x} — 17 \cdot 2^x + 2 < 0;
\)
\(
D = 17^2 — 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 — 64 = 225,
\)
тогда:
\(
2^x_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 8} = \frac{1}{8} \quad \text{и} \quad 2^x_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 8} = 2;
\)
\(
x_1 = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = 1;
\)
\(
(x + 3)(x — 1) < 0;
\)
\(
-3 < x < 1;
\)
Ответ: \( (-3; 1) \).
3)
\(
6^{x+2} + 6^{-x} — 37 \geq 0;
\)
\(
36 \cdot 6^x + 6^{-x} — 37 \geq 0;
\)
\(
36 \cdot 6^{2x} — 37 \cdot 6^x + 1 \geq 0;
\)
\(
D = 37^2 — 4 \cdot 36 \cdot 1 = 1369 — 144 = 1225,
\)
тогда:
\(
6^{x_1} = \frac{37 — 35}{2 \cdot 36} = \frac{1}{36}, \quad 6^{x_2} = \frac{37 + 35}{2 \cdot 36} = 1;
\)
\(
x_1 = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = 0;
\)
\(
x(x + 2) \geq 0;
\)
\(
x \leq -2, \quad x \geq 0;
\)
Ответ: \( (-\infty; -2] \cup [0; +\infty) \).
4)
\(
\left( \frac{3}{5} \right)^{x+1} + \left( \frac{3}{5} \right)^{1-x} \leq \frac{6}{5};
\)
\(
\left( \frac{3}{5} \right)^x \cdot \frac{3}{5} + \left( \frac{3}{5} \right)^{-x} \cdot \frac{3}{5} — \frac{6}{5} \leq 0;
\)
\(
\frac{3}{5} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{2x} — 2 \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \leq 0;
\)
\(
\frac{3}{5} \cdot \left( \left( \frac{3}{5} \right)^x — 1 \right)^2 \leq 0;
\)
\(
\left( \frac{3}{5} \right)^x — 1 = 0;
\)
\(
\left( \frac{3}{5} \right)^x = 1;
\)
\(
x = 0;
\)
Ответ: \( \{0\} \).
1) \( 3^x — 9 \cdot 3^{-x} — 8 > 0 \)
Преобразуем выражение, заменяя \( 3^{-x} \) на \( \frac{1}{3^x} \):
\(
3^{2x} — 8 \cdot 3^x — 9 > 0
\)
Решаем квадратное уравнение относительно \( 3^x \):
\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
3^x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 10}{2} = -1
\)
\(
3^x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9
\)
Так как \( 3^x > 0 \), корень \( 3^x_1 = -1 \) не принадлежит области определения. Остался только \( 3^x_2 = 9 \), что соответствует \( x = 2 \).
Рассматриваем знак выражения \( (3^x — 9) > 0 \):
\(
x > 2
\)
Ответ: \( (2; +\infty) \).
2) \( 2^{x+3} + 2^{1-x} < 17 \)
Преобразуем выражение, заменяя \( 2^{x+3} \) на \( 8 \cdot 2^x \), а \( 2^{1-x} \) на \( \frac{2}{2^x} \):
\(
8 \cdot 2^x + \frac{2}{2^x} — 17 < 0
\)
Умножим обе части на \( 2^x \) (при \( 2^x > 0 \)):
\(
8 \cdot 2^{2x} — 17 \cdot 2^x + 2 < 0
\)
Решаем квадратное уравнение относительно \( 2^x \):
\(
D = (-17)^2 — 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 — 64 = 225
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
2^x_1 = \frac{-(-17) — \sqrt{225}}{2 \cdot 8} = \frac{17 — 15}{16} = \frac{1}{8}
\)
\(
2^x_2 = \frac{-(-17) + \sqrt{225}}{2 \cdot 8} = \frac{17 + 15}{16} = 2
\)
Соответствующие значения \( x \):
\(
x_1 = -3, \quad x_2 = 1
\)
Рассматриваем знак выражения \( (2^x — \frac{1}{8})(2^x — 2) < 0 \):
\(
-3 < x < 1
\)
Ответ: \( (-3; 1) \).
3) \( 6^{x+2} + 6^{-x} — 37 \geq 0 \)
Преобразуем выражение, заменяя \( 6^{x+2} \) на \( 36 \cdot 6^x \), а \( 6^{-x} \) на \( \frac{1}{6^x} \):
\(
36 \cdot 6^x + \frac{1}{6^x} — 37 \geq 0
\)
Умножим обе части на \( 6^x \) (при \( 6^x > 0 \)):
\(
36 \cdot 6^{2x} — 37 \cdot 6^x + 1 \geq 0
\)
Решаем квадратное уравнение относительно \( 6^x \):
\(
D = (-37)^2 — 4 \cdot 36 \cdot 1 = 1369 — 144 = 1225
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
6^{x_1} = \frac{-(-37) — \sqrt{1225}}{2 \cdot 36} = \frac{37 — 35}{72} = \frac{1}{36}
\)
\(
6^{x_2} = \frac{-(-37) + \sqrt{1225}}{2 \cdot 36} = \frac{37 + 35}{72} = 1
\)
Соответствующие значения \( x \):
\(
x_1 = -2, \quad x_2 = 0
\)
Рассматриваем знак выражения \( (6^x — \frac{1}{36})(6^x — 1) \geq 0 \):
\(
x \leq -2, \quad x \geq 0
\)
Ответ: \( (-\infty; -2] \cup [0; +\infty) \).
4) \( \left( \frac{3}{5} \right)^{x+1} + \left( \frac{3}{5} \right)^{1-x} \leq \frac{6}{5} \)
Преобразуем выражение, заменяя \( \left( \frac{3}{5} \right)^{x+1} \) на \( \left( \frac{3}{5} \right)^x \cdot \frac{3}{5} \), а \( \left( \frac{3}{5} \right)^{1-x} \) на \( \frac{3}{5} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{-x} \):
\(
\left( \frac{3}{5} \right)^x \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{-x} — \frac{6}{5} \leq 0
\)
Вынесем \( \frac{3}{5} \) за скобки:
\(
\frac{3}{5} \cdot \left( \left( \frac{3}{5} \right)^{2x} — 2 + \left( \frac{3}{5} \right)^{-2x} \right) \leq 0
\)
Преобразуем выражение:
\(
\frac{3}{5} \cdot \left( \left( \frac{3}{5} \right)^x — 1 \right)^2 \leq 0
\)
Так как квадрат выражения всегда больше либо равен нулю, равенство достигается только при:
\(
\left( \frac{3}{5} \right)^x — 1 = 0
\)
Отсюда:
\(
\left( \frac{3}{5} \right)^x = 1
\)
Решаем уравнение:
\(
x = 0
\)
Ответ: \( \{0\} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.