ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \( 3^{(x+1)} — 2 \cdot 3^{(1-x)} > 7 \)

2) \( 4^{(1-x)} — 0.5^{(1-2x)} > 1 \)

1) \( 3^{x+1} — 2 \cdot 3^{1-x} > 7 \):
\(
3 \cdot 3^x — 2 \cdot 3 \cdot 3^{-x} — 7 > 0
\)
\(
3 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot 3^x — 6 > 0
\)
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49 + 72 = 121
\)

Тогда:
\(
3^x_1 = \frac{7 — 11}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}, \quad 3^x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = 3
\)
\( x_1 \notin \mathbb{R} \), и \( x_2 = 1 \):
\(
x — 1 > 0, \quad x > 1
\)

Ответ: \( (1; +\infty) \).

2) \( 4^{1-x} — 0,5^{1-2x} \geq 1 \):
\(
4 \cdot 2^{-2x} — 0,5 \cdot 2^{-(-2x)} \geq 1
\)
\(
8 \cdot 2^{-2x} — 2^{2x} \geq 2
\)
\(
2^{4x} + 2 \cdot 2^{2x} — 8 \leq 0
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36
\)

Тогда:
\(
2^{2x}_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad 2^{2x}_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2
\)

\( 2^{2x}_1 \notin \mathbb{R} \), и \( 2^{2x}_2 = 1 \):
\(
2^x = 0,5
\)
\(
x — 0,5 \leq 0, \quad x \leq 0,5
\)

Ответ: \( (-\infty; 0,5] \).

Решить неравенство:

1) \( 3^{x+1} — 2 \cdot 3^{1-x} > 7 \):
Преобразуем выражение:
\(
3 \cdot 3^x — 2 \cdot 3 \cdot 3^{-x} — 7 > 0
\)
Чтобы избавиться от отрицательной степени, умножим \( 3^{-x} \) на \( 3^x \), получим:
\(
3 \cdot 3^{2x} — 7 \cdot 3^x — 6 > 0
\)
Это квадратное уравнение относительно \( 3^x \):
\(
a = 3, \quad b = -7, \quad c = -6
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
3^x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 — 11}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}
\)
\(
3^x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = 3
\)
Первый корень \( 3^x_1 = -\frac{1}{3} \) не принадлежит области определения функции \( 3^x \), так как \( 3^x > 0 \).
Остается второй корень \( 3^x_2 = 3 \), тогда:
\(
x = \log_3(3) = 1
\)
Неравенство \( 3^{2x} — 7 \cdot 3^x — 6 > 0 \) имеет положительное решение при \( 3^x > 3 \), то есть:
\(
x > 1
\)
Ответ:
\(
(1; +\infty)
\)

2) \( 4^{1-x} — 0,5^{1-2x} \geq 1 \):
Преобразуем выражение, используя свойства степеней:
\(
4 \cdot 2^{-2x} — 0,5 \cdot 2^{-(-2x)} \geq 1
\)
\(
8 \cdot 2^{-2x} — 2^{2x} \geq 2
\)
Умножим обе части на \( 2^{2x} \), чтобы избавиться от отрицательной степени:
\(
2^{4x} + 2 \cdot 2^{2x} — 8 \leq 0
\)
Это квадратное уравнение относительно \( 2^{2x} \):
\(
a = 1, \quad b = 2, \quad c = -8
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\)
Корни квадратного уравнения:
\(
2^{2x}_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 — 6}{2} = -4
\)
\(
2^{2x}_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2
\)
Первый корень \( 2^{2x}_1 = -4 \) не принадлежит области определения функции \( 2^{2x} \), так как \( 2^{2x} > 0 \).
Остается второй корень \( 2^{2x}_2 = 2 \), тогда:
\(
2^x = \sqrt{2}
\)
Рассматриваем область, где \( 2^{4x} + 2 \cdot 2^{2x} — 8 \leq 0 \).
Неравенство выполняется при \( 2^x \leq \sqrt{2} \), то есть:
\(
x \leq \log_2(\sqrt{2}) = 0,5
\)
Ответ:
\(
(-\infty; 0,5]
\)