ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{4}\)

2) \(5^x < \frac{1}{5}\)

3) \(11^{x-5} < 11^{3x+1}\)

4) \(0.4^{6x+1} > 0.4^{2x+5}\)

5) \(2^{x^2-1} < 8\)

6) \(0.3^{4x-8} > 1\)

7) \(0.1^{3x-1} < 1000\)

8) \(\left(\frac{1}{36}\right)^{2-x} < 216^{x+1}\)

1) \(\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{4}\);
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^2\);
\(x < 2\);
Ответ: \((-∞; 2)\).

2) \(5^x < \frac{1}{5}\);
\(5^x < 5^{-1}\);
\(x < -1\);
Ответ: \((-∞; -1)\).

3) \(11^{x-5} < 11^{3x+1}\);
\(x-5 < 3x+1\);
\(2x > -6\);
\(x > -3\);
Ответ: \((-3; +∞)\).

4) \(0,4^{6x+1} \geq 0,4^{2x+5}\);
\(6x+1 \leq 2x+5\);
\(4x \leq 4\);
\(x \leq 1\);
Ответ: \((-∞; 1]\).

5) \(2x^2 — 1 < 8\);
\(2x^2 — 1 < 23\);
\(x^2 — 1 < 3\);
\(x^2 — 4 < 0\);
\((x + 2)(x — 2) < 0\);
\(-2 < x < 2\);
Ответ: \((-2; 2)\).

6) \(0,3^{4x-8} > 1\);
\(4x — 8 < 0\);
\(4x < 8\);
\(x < 2\);
Ответ: \((-∞; 2)\).

7) \(0,1^{3x-1} < 1000\);
\(10^{-(3x-1)} < 10^3\);
\(1 — 3x < 3\);
\(3x > -2\);
\(x > -\frac{2}{3}\);
Ответ: \((- \frac{2}{3}; +∞)\).

8) \(\left(\frac{1}{36}\right)^{2-x} < 216^{x+1}\);
\(6^{-2(2-x)} < 6^{3(x+1)}\);
\(2x — 4 < 3x + 3\);
\(x > -7\);
Ответ: \((-7; +∞)\).

1) \((\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}\)
Преобразуем правую часть: \(\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2\).
Получаем: \((\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2\).
Так как основание дробное (\(\frac{1}{2} < 1\)), знак неравенства меняется при переходе к показателям:
\(x < 2\).
Ответ: \((-∞; 2)\).

2) \(5^x < \frac{1}{5}\)
Преобразуем правую часть: \(\frac{1}{5} = 5^{-1}\).
Получаем: \(5^x < 5^{-1}\).
Так как основание больше единицы (\(5 > 1\)), знак неравенства сохраняется при переходе к показателям:
\(x < -1\).
Ответ: \((-∞; -1)\).

3) \(11^{x-5} < 11^{3x+1}\)
Так как основания одинаковые (\(11 > 1\)), переходим к показателям, сохраняя знак неравенства:
\(x — 5 < 3x + 1\).
Переносим \(x\) и константы в одну сторону:
\(x — 3x < 1 + 5\).
\(-2x > -6\).
Делим на \(-2\), меняя знак неравенства:
\(x > -3\).
Ответ: \((-3; +∞)\).

4) \(0,4^{6x+1} \geq 0,4^{2x+5}\)
Так как основания одинаковые (\(0,4 < 1\)), переходим к показателям, меняя знак неравенства:
\(6x + 1 \leq 2x + 5\).
Переносим \(x\) и константы в одну сторону:
\(6x — 2x \leq 5 — 1\).
\(4x \leq 4\).
Делим на \(4\):
\(x \leq 1\).
Ответ: \((-∞; 1]\).

5) \(2x^2 — 1 < 8\)
Преобразуем правую часть:
\(2x^2 — 1 < 23\).
\(x^2 — 1 < 3\).
\(x^2 — 4 < 0\).
Разложим на множители:
\((x + 2)(x — 2) < 0\).
Решаем методом интервалов:
\(-2 < x < 2\).
Ответ: \((-2; 2)\).

6) \(0,3^{4x-8} > 1\)
Преобразуем правую часть: \(1 = 0,3^0\).
Получаем: \(0,3^{4x-8} > 0,3^0\).
Так как основание дробное (\(0,3 < 1\)), знак неравенства меняется при переходе к показателям:
\(4x — 8 < 0\).
Переносим константу:
\(4x < 8\).
Делим на \(4\):
\(x < 2\).
Ответ: \((-∞; 2)\).

7) \(0,1^{3x-1} < 1000\)
Преобразуем правую часть: \(1000 = 10^3\).
Получаем: \(10^{-(3x-1)} < 10^3\).
Так как основания одинаковые (\(10 > 1\)), переходим к показателям, сохраняя знак неравенства:
\(-(3x — 1) < 3\).
Раскрываем скобки:
\(-3x + 1 < 3\).
Переносим константы:
\(-3x < 3 — 1\).
\(-3x < 2\).
Делим на \(-3\), меняя знак неравенства:
\(x > -\frac{2}{3}\).
Ответ: \((- \frac{2}{3}; +∞)\).

8) \((\frac{1}{36})^{2-x} < 216^{x+1}\)
Преобразуем основания: \(\frac{1}{36} = 6^{-2}\), \(216 = 6^3\).
Получаем: \(6^{-2(2-x)} < 6^{3(x+1)}\).
Так как основания одинаковые (\(6 > 1\)), переходим к показателям, сохраняя знак неравенства:
\(-2(2 — x) < 3(x + 1)\).
Раскрываем скобки:
\(-4 + 2x < 3x + 3\).
Переносим \(x\) и константы в одну сторону:
\(2x — 3x < 3 + 4\).
\(-x < 7\).
Делим на \(-1\), меняя знак неравенства:
\(x > -7\).
Ответ: \((-7; +∞)\).