ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
2^{\sqrt{x}} — 2^{1 — \sqrt{x}} < 1
\)

Решить неравенство:
\(
2\sqrt{x} — 2^{1 — \sqrt{x}} \leq 1;
\)
\(
2\sqrt{x} — 1 — 2 \cdot 2^{-\sqrt{x}} \leq 0;
\)
\(
2^{2\sqrt{x}} — 2\sqrt{x} — 2 \leq 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
2^{\sqrt{x}_1} = \frac{1 — 3}{2} = -1
\)
и
\(
2^{\sqrt{x}_2} = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

\(
\sqrt{x}_1 \notin \mathbb{R}
\)
и
\(
\sqrt{x}_2 = 1;
\)
\(
x_1 \notin \mathbb{R}, \quad x_2 = 1;
\)
\(
x — 1 \leq 0;
\)
\(
x \leq 1;
\)

Область определения:
\(
\sqrt{x} \in \mathbb{R}, \quad x \geq 0;
\)

Ответ:
\(
[0; 1].
\)

решим неравенство:
\(
2\sqrt{x} — 2^{1 — \sqrt{x}} \leq 1
\)

переносим \(1\) в левую часть:
\(
2\sqrt{x} — 1 — 2^{1 — \sqrt{x}} \leq 0
\)

заменим \(2^{1 — \sqrt{x}}\) на \(2 \cdot 2^{-\sqrt{x}}\):
\(
2\sqrt{x} — 1 — 2 \cdot 2^{-\sqrt{x}} \leq 0
\)

умножим обе части на \(2^{\sqrt{x}}\), чтобы избавиться от дроби. так как \(2^{\sqrt{x}} > 0\), знак неравенства сохраняется:
\(
2^{\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x} — 2^{\sqrt{x}} \cdot 1 — 2 \leq 0
\)

заменим \(2^{\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x}\) на \(2^{2\sqrt{x}}\):
\(
2^{2\sqrt{x}} — 2\sqrt{x} — 2 \leq 0
\)

решим это неравенство. обозначим \(t = 2^{\sqrt{x}}\), тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 — 2\sqrt{x} — 2 \leq 0
\)

в данном случае \(t = 2^{\sqrt{x}} > 0\), поэтому область определения включает только положительные значения \(t\).

найдем корни уравнения:
\(
t^2 — t — 2 = 0
\)

дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)

корни:
\(
t_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1
\)
\(
t_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2
\)

корень \(t_1 = -1\) не принадлежит области определения, так как \(t > 0\).
корень \(t_2 = 2\).

возвращаемся к переменной \(x\):
\(
2^{\sqrt{x}} = 2 — \sqrt{x} = 1 — x = 1
\)

учитывая область определения \(x \geq 0\), а также знак неравенства, получаем:
\(
x \leq 1
\)

окончательно:
область определения \(x \geq 0\).
ответ:
\(
[0; 1].
\)