ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
3^{vx} — 3^{2 — vx} < 8
\)

Решить неравенство:
\(
3\sqrt{x} — 3^{2-\sqrt{x}} \leq 8;
\)
\(
3\sqrt{x} — 8 — 9 \cdot 3^{-\sqrt{x}} \leq 0;
\)
\(
3^{2\sqrt{x}} — 8 \cdot 3^{\sqrt{x}} — 9 \leq 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100,
\)
тогда:
\(
3^{\sqrt{x}_1} = \frac{8 — 10}{2} = -1
\)
и
\(
3^{\sqrt{x}_2} = \frac{8 + 10}{2} = 9;
\)

\(
\sqrt{x}_1 \notin \mathbb{R} \quad \text{и} \quad \sqrt{x}_2 = 2;
\)
\(
x_1 \notin \mathbb{R}, \quad x_2 = 4;
\)
\(
x — 4 \leq 0;
\)
\(
x \leq 4;
\)

Область определения:
\(
\sqrt{x} \in \mathbb{R}, \quad x \geq 0;
\)

Ответ:
\(
[0; 4].
\)

Рассмотрим неравенство:
\(
3\sqrt{x} — 3^{2-\sqrt{x}} \leq 8.
\)

Перепишем его, чтобы избавиться от числа \(8\):
\(
3\sqrt{x} — 8 — 3^{2-\sqrt{x}} \leq 0.
\)

Представим \(3^{2-\sqrt{x}}\) в виде произведения:
\(
3\sqrt{x} — 8 — 9 \cdot 3^{-\sqrt{x}} \leq 0.
\)

Обозначим \(t = 3^{\sqrt{x}}\), так как \(3^{\sqrt{x}} > 0\), тогда:
\(
t^2 — 8t — 9 \leq 0.
\)

Получили квадратное неравенство. Найдем его корни, используя формулу дискриминанта:
\(
D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 10}{2} = -1,
\)
\(
t_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = 9.
\)

Поскольку \(t = 3^{\sqrt{x}} > 0\), корень \(t_1 = -1\) не подходит. Таким образом, остается:
\(
t = 9 — 3^{\sqrt{x}} = 9.
\)

Отсюда:
\(
\sqrt{x} = 2 — x = 4.
\)

Теперь проверим область определения исходного неравенства. Поскольку в выражении присутствует \(\sqrt{x}\), то:
\(
x \geq 0.
\)

Кроме того, из неравенства \(t^2 — 8t — 9 \leq 0\) следует, что \(t \in [0; 9]\). Это соответствует \(\sqrt{x} \in [0; 2]\), а значит \(x \in [0; 4]\).

Ответ:
\(
x \in [0; 4].
\)