ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

1) \( 3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x — 5 \cdot 6^x < 0 \)

2) \( 5 \cdot 25^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{\frac{1}{x}} > 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \)

1)
\(
3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x — 5 \cdot 6^x < 0;
\)
\(
3 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} < 0;
\)
\(
3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} — 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 < 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{5 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}
\)
и
\(
\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = 1;
\)

\(
x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 0;
\)
\(
x(x — 1) < 0;
\)
\(
0 < x < 1;
\)

Ответ:
\(
(0; 1).
\)

2)
\(
5 \cdot 25^x + 3 \cdot 10^x \geq 2 \cdot 4^x;
\)
\(
5 \cdot 5^x + 3 \cdot 10^x — 2 \cdot 2^x \geq 0;
\)
\(
5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x + 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} — 2 \geq 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49,
\)
тогда:
\(
\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 5} = -1
\)
и
\(
\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{2}{5};
\)

\(
1 \notin \text{допустимых значений} \quad \text{и} \quad x_2 = -1;
\)
\(
\frac{1}{x} + 1 \geq 0;
\)
\(
x \geq 0;
\)
\(
x \leq -1, \quad x > 0;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -1] \cup (0; +\infty).
\)

Решить неравенство:

1)
Рассмотрим неравенство:
\((3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x — 5 \cdot 6^x < 0)\).

Представим \(4^x\), \(9^x\) и \(6^x\) через степени числа \(2\) и \(3\):
\((3 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} < 0)\).

Разделим обе части на \(6^x\), чтобы получить выражение в виде степеней отношения \(\left(\frac{2}{3}\right)^x\):
\((3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} — 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 < 0)\).

Обозначим \(\left(\frac{2}{3}\right)^x = t\), где \(t > 0\). Тогда неравенство принимает вид:
\((3t^2 — 5t + 2 < 0)\).

Решим квадратное уравнение \(3t^2 — 5t + 2 = 0\) для нахождения корней.
Вычислим дискриминант:
\(D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1\).

Корни уравнения:
\(t_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\),
\(t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1\).

Таким образом, уравнение имеет корни \(t_1 = \frac{2}{3}\) и \(t_2 = 1\).

Вернемся к переменной \(x\):
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x = t\).

Рассматриваем промежуток, где квадратный трехчлен \(3t^2 — 5t + 2 < 0\), то есть между корнями \(t_1\) и \(t_2\):
\((\frac{2}{3} < t < 1)\).

Так как \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\), то \(\left(\frac{2}{3}\right)^x\) принадлежит интервалу \((\frac{2}{3}; 1)\).

Для нахождения \(x\) преобразуем:
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3}\) дает \(x = 1\),
\(\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1\) дает \(x = 0\).

Следовательно, \(x\) принадлежит интервалу \((0; 1)\).

Ответ:
\((0; 1)\).

2)
Рассмотрим неравенство:
\((5 \cdot 25^x + 3 \cdot 10^x \geq 2 \cdot 4^x)\).

Представим \(25^x\), \(10^x\) и \(4^x\) через степени числа \(5\) и \(2\):
\((5 \cdot 5^x + 3 \cdot 10^x — 2 \cdot 2^x \geq 0)\).

Разделим обе части на \(2^x\), чтобы получить выражение в виде степеней отношения \(\left(\frac{5}{2}\right)^x\):
\((5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x + 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} — 2 \geq 0)\).

Обозначим \(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = t\), где \(t > 0\). Тогда неравенство принимает вид:
\((5t^2 + 3t — 2 \geq 0)\).

Решим квадратное уравнение \(5t^2 + 3t — 2 = 0\) для нахождения корней.
Вычислим дискриминант:
\(D = 3^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49\).

Корни уравнения:
\(t_1 = \frac{-3 — \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 — 7}{10} = -1\),
\(t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{2}{5}\).

Таким образом, уравнение имеет корни \(t_1 = -1\) и \(t_2 = \frac{2}{5}\).

Вернемся к переменной \(x\):
\(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = t\).

Так как \(t > 0\), то корень \(t_1 = -1\) не подходит. Остается только \(t_2 = \frac{2}{5}\).

Рассматриваем промежуток, где квадратный трехчлен \(5t^2 + 3t — 2 \geq 0\):
\((t \leq -1) \cup (t \geq \frac{2}{5})\).

Так как \(t = \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}}\), то:
\(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} \geq \frac{2}{5}\).

Для нахождения \(x\) преобразуем:
\(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{2}{5}\).

Промежуток для \(x\):
\(x \leq -1\) или \(x > 0\).

Ответ:
\((-\infty; -1] \cup (0; +\infty)\).