ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

1) \( 3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x — 5 \cdot 36^x < 0 \)

2) \( 2 \cdot 49^{\frac{1}{x}} — 9 \cdot 14^{\frac{1}{x}} + 7 \cdot 4^{\frac{1}{x}} > 0 \)

1)
\(3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x − 5 \cdot 36^x < 0;\)

\(3 \cdot 42^x − 5 \cdot 36^x + 2 \cdot 9^x < 0;\)

\(3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} − 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 2 < 0;\)

Вычислим дискриминант:
\(D = 5^2 − 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 − 24 = 1,\)
тогда:

\(\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{5 − 1}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}, \quad \text{и} \quad \left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = 1;\)

Корни:
\(x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 0;\)

Рассмотрим неравенство:
\(x (x − \frac{1}{2}) < 0;\)

Решение:
\(0 < x < \frac{1}{2};\)

Ответ:
\((0; \frac{1}{2}).\)

2)
\(2 \cdot 49^x − 9 \cdot 14^x + 7 \cdot 4^x \geq 0;\)

\(
2 \cdot 7^x − 9 \cdot 14^x + 7 \cdot 2^x \geq 0;
\)

\(
2 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^x − 9 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} + 7 \geq 0;
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 9^2 − 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 − 56 = 25,
\)
тогда:

\(
\left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{9 − 5}{2 \cdot 2} = 1 \quad \text{и} \quad \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{9 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{7}{2};
\)

Корни:
\(
\frac{1}{x_1} = 0 \quad \text{и} \quad \frac{1}{x_2} = 1;
\)

Рассмотрим неравенство:
\(
\frac{1}{x} \left(\frac{1}{x} − 1\right) \geq 0;
\)

\(
\frac{1}{x^2} − \frac{1}{x} \geq 0;
\)

\(
\frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{x}, \quad x \neq 0;
\)

Решение:
\(
x \leq 1, \quad x \neq 0;
\)

Ответ:
\(
(−\infty; 0) \cup (0; 1].
\)

1)

Рассмотрим неравенство:
\(
3 \cdot 16^x + 2 \cdot 81^x − 5 \cdot 36^x < 0
\)

Заметим, что \(16 = 4^2\), \(81 = 9^2\), \(36 = 6^2\). Тогда выражение можно переписать следующим образом:
\(
3 \cdot 4^{2x} + 2 \cdot 9^{2x} − 5 \cdot 6^{2x} < 0
\)

Теперь разделим обе части на \(9^x\), чтобы упростить выражение:
\(
3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} − 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^x + 2 < 0
\)

Введем замену:
\(
t = \left(\frac{4}{9}\right)^x
\)

Тогда неравенство примет вид:
\(
3t^2 − 5t + 2 < 0
\)

Рассмотрим квадратное уравнение:
\(
3t^2 − 5t + 2 = 0
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-5)^2 − 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 − 24 = 1
\)

Найдем корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-(-5) − \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 − 1}{6} = \frac{2}{3}, \quad t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = 1
\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(
\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}, \quad \left(\frac{4}{9}\right)^x = 1
\)

Рассмотрим оба случая:

1. Если \(\left(\frac{4}{9}\right)^x = 1\), то \(x = 0\).
2. Если \(\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}\), то, используя свойства степеней, получаем:
\(
x = \frac{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}{\ln\left(\frac{4}{9}\right)} = \frac{1}{2}
\)

Неравенство \(3t^2 − 5t + 2 < 0\) выполняется между корнями \(t_1 = \frac{2}{3}\) и \(t_2 = 1\):
\(
\frac{2}{3} < t < 1
\)

Вернемся к \(x\):
\(
0 < x < \frac{1}{2}
\)

Ответ:
\(
(0; \frac{1}{2})
\)

2)

Рассмотрим неравенство:
\(
2 \cdot 49^x − 9 \cdot 14^x + 7 \cdot 4^x \geq 0
\)

Заметим, что \(49 = 7^2\), \(14 = 7 \cdot 2\), \(4 = 2^2\). Тогда выражение можно переписать следующим образом:
\(
2 \cdot 7^{2x} − 9 \cdot 7^x \cdot 2^x + 7 \cdot 2^{2x} \geq 0
\)

Разделим обе части на \(2^x\), чтобы упростить выражение:
\(
2 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^x − 9 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}} + 7 \geq 0
\)

Введем замену:
\(
t = \left(\frac{7}{2}\right)^{\frac{1}{x}}
\)

Тогда неравенство примет вид:
\(
2t^2 − 9t + 7 \geq 0
\)

Рассмотрим квадратное уравнение:
\(
2t^2 − 9t + 7 = 0
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-9)^2 − 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 − 56 = 25
\)

Найдем корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-(-9) − \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 − 5}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{7}{2}
\)

Теперь вернемся к переменной \(x\):
\(
\frac{1}{x_1} = 0, \quad \frac{1}{x_2} = 1
\)

Рассмотрим неравенство:
\(
\frac{1}{x} \cdot \left(\frac{1}{x} − 1\right) \geq 0
\)

Раскроем скобки:
\(
\frac{1}{x^2} − \frac{1}{x} \geq 0
\)

Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{1 − x}{x^2} \geq 0
\)

Рассмотрим знак числителя и знаменателя:

1. \(x^2 > 0\), следовательно, \(x \neq 0\).
2. \(1 − x \geq 0\), следовательно, \(x \leq 1\).

Объединяя условия, получаем:
\(
x \leq 1, \quad x \neq 0
\)

Ответ:
\(
(-\infty; 0) \cup (0; 1]
\)