ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
x^2 \cdot 3^x + 9 < x^2 + 3^{x+2}
\)

Решить неравенство:
\(x^2 \cdot 3^x + 9 < x^2 + 3^x + 2;\)
\(x^2 \cdot 3^x + 9 < x^2 + 9 \cdot 3^x;\)
\(x^2 \cdot 3^x + 9 — x^2 — 9 \cdot 3^x < 0;\)
\(x^2 \cdot (3^x — 1) — 9 \cdot (3^x — 1) < 0;\)
\((x^2 — 9)(3^x — 1) < 0;\)
\((x^2 — 9)(3^x — 3^0) < 0;\)
\((x + 3)x(x — 3) < 0;\)
\(x < -3, \, 0 < x < 3;\)

Ответ: \((- \infty; -3) \cup (0; 3).\)

Рассмотрим неравенство:

\((x^2 \cdot 3^x + 9 < x^2 + 3^x + 2)\)

Перенесем все выражения в одну часть, чтобы получить:

\((x^2 \cdot 3^x + 9 — x^2 — 3^x — 2 < 0)\)

Сгруппируем похожие слагаемые:

\((x^2 \cdot 3^x — x^2) + (9 — 3^x — 2) < 0\)

Вынесем общий множитель \(x^2\) в первой группе:

\((x^2 \cdot (3^x — 1)) + (9 — 3^x — 2) < 0\)

Сгруппируем выражение:

\((x^2 \cdot (3^x — 1) — (9 \cdot (3^x — 1)) < 0)\)

Вынесем общий множитель \((3^x — 1)\):

\((x^2 — 9)(3^x — 1) < 0\)

Разложим \(x^2 — 9\) на множители:

\(((x — 3)(x + 3))(3^x — 1) < 0\)

Теперь рассмотрим произведение \((x + 3)x(x — 3)(3^x — 1) < 0\). Для этого найдем нули каждой из скобок:

1. \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
2. \(x = 0\)
3. \(x — 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
4. \(3^x — 1 = 0 \Rightarrow x = 0\), так как \(3^x > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\)

Рассмотрим интервалы, где знак произведения меняется. Критические точки: \(-3, 0, 3\).

На основании анализа знаков выражения на каждом интервале, получаем решение:

\((- \infty; -3) \cup (0; 3)\)