Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство
\(
|3^x — 1| + |3^x — 9| = 8
\)
1) Под знаком модуля:
\(3x — 1 \geq 0, \, 3x — 9 \geq 0;\)
\(3x \geq 1, \, 3x \geq 9;\)
\(x \geq 0, \, x \geq 2;\)
2) Если \(x \geq 2\), тогда:
\((3x — 1) + (3x — 9) = 8;\)
\(2 \cdot 3x — 10 = 8;\)
\(2 \cdot 3x = 18;\)
\(3x = 9, \, x = 2;\)
3) Если \(0 \leq x < 2\), тогда:
\((3x — 1) — (3x — 9) = 8;\)
\(8 = 8, \, x \in \mathbb{R};\)
4) Если \(x < 0\), тогда:
\(-(3x — 1) — (3x — 9) = 8;\)
\(-2 \cdot 3x + 10 = 8;\)
\(2 \cdot 3x = 2;\)
\(3x = 1, \, x = 0;\)
Ответ: \([0; 2].\)
Имеем уравнение:
\(
|3^x — 1| + |3^x — 9| = 8.
\)
Чтобы решить его, нужно рассмотреть различные случаи раскрытия модулей. Для этого определим, где выражения \(3^x — 1\) и \(3^x — 9\) положительны или отрицательны.
1. Анализ областей
1. \(3^x — 1 \geq 0 — 3^x \geq 1 — x \geq 0\).
2. \(3^x — 9 \geq 0 — 3^x \geq 9 — x \geq 2\).
Таким образом, нужно рассмотреть три случая:
— \(x \geq 2\),
— \(0 \leq x < 2\),
— \(x < 0\).
2. Случай \(x \geq 2\)
В данном случае оба выражения \(3^x — 1\) и \(3^x — 9\) положительны, поэтому модули раскрываются со знаком плюс:
\(
|3^x — 1| + |3^x — 9| = (3^x — 1) + (3^x — 9).
\)
Упростим:
\(
(3^x — 1) + (3^x — 9) = 2 \cdot 3^x — 10.
\)
По условию задачи:
\(
2 \cdot 3^x — 10 = 8.
\)
Решим уравнение:
\(
2 \cdot 3^x = 18 — 3^x = 9.
\)
Возьмем логарифм по основанию 3:
\(
x = \log_3 9 = 2.
\)
Таким образом, при \(x \geq 2\) решение \(x = 2\).
3. Случай \(0 \leq x < 2\)
В данном случае \(3^x — 1 \geq 0\), а \(3^x — 9 < 0\). Значит, первый модуль раскрывается со знаком плюс, а второй — со знаком минус:
\(
|3^x — 1| + |3^x — 9| = (3^x — 1) — (3^x — 9).
\)
Упростим:
\(
(3^x — 1) — (3^x — 9) = -1 + 9 = 8.
\)
Мы видим, что равенство выполняется при любом \(x\) из промежутка \(0 \leq x < 2\). Следовательно, решение на данном промежутке — весь интервал:
\(
x \in [0, 2).
\)
Случай \(x < 0\)
В данном случае оба выражения \(3^x — 1\) и \(3^x — 9\) отрицательны, поэтому оба модуля раскрываются со знаком минус:
\(
|3^x — 1| + |3^x — 9| = -(3^x — 1) — (3^x — 9).
\)
Упростим:
\(
-(3^x — 1) — (3^x — 9) = -3^x + 1 — 3^x + 9 = -2 \cdot 3^x + 10.
\)
По условию задачи:
\(
-2 \cdot 3^x + 10 = 8.
\)
Решим уравнение:
\(
-2 \cdot 3^x = -2 — 3^x = 1.
\)
Возьмем логарифм по основанию 3:
\(
x = \log_3 1 = 0.
\)
Однако \(x = 0\) не принадлежит рассматриваемому промежутку \(x < 0\). Следовательно, на этом промежутке решений нет.
5. Итог
Соберем все найденные решения:
— При \(x \geq 2\), решение \(x = 2\).
— При \(0 \leq x < 2\), решение \(x \in [0, 2)\).
— При \(x < 0\), решений нет.
Объединяя, получаем:
\(
x \in [0, 2].
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.