ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
|2^x — 1| + |2^x — 2| = 1
\)

Решить уравнение:
\(
|2^x — 1| + |2^x — 2| = 1;
\)

1) Под знаком модуля:
\(
2^x — 1 \geq 0, \quad 2^x — 2 \geq 0; \quad 2^x \geq 1, \quad 2^x \geq 2; \quad x \geq 0, \quad x \geq 1;
\)

2) Если \(x \geq 1\), тогда:
\(
(2^x — 1) + (2^x — 2) = 1;
\)
\(
2 \cdot 2^x — 3 = 1; \quad 2^x = 2, \quad x = 1;
\)

3) Если \(0 \leq x < 1\), тогда:
\(
(2^x — 1) — (2^x — 2) = 1; \quad 1 = 1, \quad x \in \mathbb{R};
\)

4) Если \(x < 0\), тогда:
\(
-(2^x — 1) — (2^x — 2) = 1; \quad -2 \cdot 2^x + 3 = 1; \quad 2 \cdot 2^x = 2;
\)
\(
2^x = 1, \quad x = 0;
\)

Ответ:
\(
[0; 1].
\)

Уравнение:
\(
|2^x — 1| + |2^x — 2| = 1
\)

1) Рассмотрим условия под знаком модуля.
Для выражения \( |2^x — 1| \):
\(
2^x — 1 \geq 0 \quad \text{или} \quad 2^x — 1 < 0
\)
То есть:
\(
2^x \geq 1 \quad \text{или} \quad 2^x < 1
\)

Для выражения \( |2^x — 2| \):
\(
2^x — 2 \geq 0 \quad \text{или} \quad 2^x — 2 < 0
\)
То есть:
\(
2^x \geq 2 \quad \text{или} \quad 2^x < 2
\)

Из этих условий:
\(
x \geq 0, \quad x \geq 1.
\)

Теперь рассмотрим все возможные случаи для \( x \).

2) Если \( x \geq 1 \), то оба выражения под знаком модуля положительны:
\(
|2^x — 1| = 2^x — 1, \quad |2^x — 2| = 2^x — 2.
\)

Уравнение принимает вид:
\(
(2^x — 1) + (2^x — 2) = 1
\)
Упростим:
\(
2 \cdot 2^x — 3 = 1
\)
Отсюда:
\(
2 \cdot 2^x = 4
\)
Разделим обе стороны на \( 2 \):
\(
2^x = 2
\)
Решим уравнение:
\(
x = 1.
\)

3) Если \( 0 \leq x < 1 \), то \( |2^x — 1| = -(2^x — 1) \), так как \( 2^x — 1 < 0 \), а \( |2^x — 2| = -(2^x — 2) \), так как \( 2^x — 2 < 0 \).

Уравнение принимает вид:
\(
(2^x — 1) — (2^x — 2) = 1
\)
Упростим:
\(
1 = 1
\)
Это верно для всех \( x \in [0; 1) \).

4) Если \( x < 0 \), то оба выражения под знаком модуля отрицательны:
\(
|2^x — 1| = -(2^x — 1), \quad |2^x — 2| = -(2^x — 2).
\)

Уравнение принимает вид:
\(
-(2^x — 1) — (2^x — 2) = 1
\)
Упростим:
\(
-2 \cdot 2^x + 3 = 1
\)
Отсюда:
\(
-2 \cdot 2^x = -2
\)
Разделим обе стороны на \( -2 \):
\(
2^x = 1
\)
Решим уравнение:
\(
x = 0.
\)

Ответ:
\(
[0; 1].
\)