ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( 6^{7x-1} > 6 \)

2) \( 10^x < 0.001 \)

3) \( \left( \frac{2}{3} \right)^x > \left( \frac{3}{2} \right)^4 \)

4) \( 3^{2x^2-6} > \frac{1}{81} \)

5) \( 49^{x+1} < \left( \frac{1}{7} \right)^x \)

6) \( 0.2^{2x-9} < 1 \)

8) \(\left(\frac{1}{36}\right)^{2-x} < 216^{x+1}\)

1) \(6 \cdot 7^{x-1} > 6\);
\(7^{x-1} > 1\);
\(7^x > 7^2\);
\(x > \frac{2}{7}\);
Ответ: \((\frac{2}{7}; +\infty)\).

2) \(10^x < 0,001\);
\(10^x < 10^{-3}\);
\(x < -3\);
Ответ: \((-∞; -3)\).

3) \((\frac{2}{3})^x > (\frac{3}{2})^4\);
\((\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^{-4}\);
\(x < -4\);
Ответ: \((-∞; -4)\).

4) \(3 \cdot 2^{x^2-6} > \frac{1}{81}\);
\(3 \cdot 2^{x^2-6} > 3^{-4}\);
\(2^{x^2-6} > 2^{-4}\);
\(x^2 — 6 > -4\);
\(x^2 > 2\);
\(x^2 — 1 > 0\);
\((x + 1)(x — 1) > 0\);
\(x < -1, x > 1\);
Ответ: \((-∞; -1) \cup (1; +∞)\).

5) \(49^{x+1} < \left(\frac{1}{7}\right)^x\);
\(7^{2(x+1)} < 7^{-x}\);
\(2x + 2 < -x\);
\(3x < -2\);
\(x < -\frac{2}{3}\);
Ответ: \((-∞; -\frac{2}{3})\).

6) \(0,2^{2x-9} < 1\);
\(2x — 9 > 0\);
\(2x > 9\);
\(x > 4,5\);
Ответ: \((4,5; +∞)\).

1) \(6 \cdot 7^{x-1} > 6\)
Разделим обе части на 6 (так как 6 > 0, знак неравенства не изменится):
\(7^{x-1} > 1\)

Представим 1 как \(7^0\):
\(7^{x-1} > 7^0\)

Поскольку основание 7 > 1, функция \(7^x\) строго возрастает, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
\(x-1 > 0\)
\(x > 1\)

Ответ: \((1; +\infty)\).

2) \(10^x < 0,001\)
Представим \(0,001\) как \(10^{-3}\):
\(10^x < 10^{-3}\)

Поскольку основание 10 > 1, функция \(10^x\) строго возрастает, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
\(x < -3\)

Ответ: \((-∞; -3)\).

3) \((\frac{2}{3})^x > (\frac{3}{2})^4\)
Представим \((\frac{3}{2})^4\) как \((\frac{2}{3})^{-4}\):
\((\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^{-4}\)

Поскольку основание \(\frac{2}{3} < 1\), функция \((\frac{2}{3})^x\) строго убывает, поэтому при переходе к показателям знак неравенства изменится:
\(x < -4\)

Ответ: \((-∞; -4)\).

4) \(3 \cdot 2^{x^2-6} > \frac{1}{81}\)
Представим \(\frac{1}{81}\) как \(3^{-4}\):
\(3 \cdot 2^{x^2-6} > 3^{-4}\)

Разделим обе части на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не изменится):
\(2^{x^2-6} > 3^{-4-1}\)
\(2^{x^2-6} > 2^{-4}\)

Поскольку основание 2 > 1, функция \(2^x\) строго возрастает, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
\(x^2 — 6 > -4\)
\(x^2 > 2\)

Теперь решим неравенство \(x^2 — 1 > 0\):
Разложим на множители:
\((x+1)(x-1) > 0\)

Решение методом интервалов:
\(x < -1\) или \(x > 1\)

Ответ: \((-∞; -1) \cup (1; +∞)\).

5) \(49^{x+1} < \left(\frac{1}{7}\right)^x\)
Представим \(49^{x+1}\) как \(7^{2(x+1)}\) и \(\frac{1}{7}\) как \(7^{-1}\):
\(7^{2(x+1)} < 7^{-x}\)

Поскольку основание 7 > 1, функция \(7^x\) строго возрастает, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
\(2(x+1) < -x\)
\(2x + 2 < -x\)
\(3x < -2\)
\(x < -\frac{2}{3}\)

Ответ: \((-∞; -\frac{2}{3})\).

6) \(0,2^{2x-9} < 1\)
Представим 1 как \(0,2^0\):
\(0,2^{2x-9} < 0,2^0\)

Поскольку основание \(0,2 < 1\), функция \(0,2^x\) строго убывает, поэтому при переходе к показателям знак неравенства изменится:
\(2x — 9 > 0\)
\(2x > 9\)
\(x > 4,5\)

Ответ: \((4,5; +∞)\).