ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
(2^x — 2) \cdot \sqrt{x^2 — x — 6} > 0
\)

Решить неравенство:

\(
(2^x — 2) \cdot \sqrt{x^2 — x — 6} > 0; \quad 2^x — 2 > 0; \quad 2^x > 2; \quad x > 1;
\)

Область определения:

\(
x^2 — x — 6 > 0; \quad D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \quad \text{тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;
\)

\(
(x + 3)(x — 2) > 0; \quad x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)
\)

Ответ:

\(
[3; +\infty) \cup \{-2\}.
\)

Дано:

\(
(2^x — 2) \cdot \sqrt{x^2 — x — 6} > 0
\)

Разберем каждый множитель отдельно.

1. Рассмотрим первый множитель \(2^x — 2 > 0\):

\(
2^x > 2
\)

Применим свойства показательной функции:

\(
x > 1
\)

2. Найдем область определения второго множителя \(\sqrt{x^2 — x — 6}\). Для существования квадратного корня подкоренное выражение должно быть больше нуля:

\(
x^2 — x — 6 > 0
\)

Решим квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 — x — 6 = 0\):

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2
\)

\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3
\)

Разложим квадратное выражение на множители:

\(
x^2 — x — 6 = (x + 2)(x — 3)
\)

Рассмотрим знак выражения \((x + 2)(x — 3)\). Оно положительно при:

\(
x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)
\)

Таким образом, область определения второго множителя:

\(
x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)
\)

3. Объединим условия первого и второго множителя. Условие \(x > 1\) накладывает ограничение на область определения:

\(
(x + 3)(x — 2) > 0; \quad x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)
\)

Ответ:

\(
[3; +\infty) \cup \{-2\}.
\)