ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство

\(
(3^x — 9) \cdot \sqrt{x^2 — 2x — 8} < 0
\)

Решить неравенство:
\((3^x — 9)\sqrt{x^2 — 2x — 8} \leq 0\)
\(3^x — 9 \leq 0\)
\(3^x \leq 9\)
\(x \leq 2\)

Область определения:
\(x^2 — 2x — 8 \geq 0\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot (-8) = 4 + (-32) = 36\)
\(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 — 6}{2} = -2\)
\(x_2 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\)

\((x + 2)(x — 4) \geq 0\)
\(x \leq -2, x \geq 4\)

Ответ: \((-\infty; -2] \cup \{4\}\)

Дано неравенство:
\((3^x — 9)\sqrt{x^2 — 2x — 8} \leq 0\)

Шаг 1: Решение неравенства
— Рассмотрим два сомножителя в левой части неравенства:
1. \(3^x — 9\)
— \(3^x \leq 9\)
— \(x \leq 2\)
2. \(\sqrt{x^2 — 2x — 8}\)
— Знак выражения под корнем должен быть неотрицательным
— \(x^2 — 2x — 8 \geq 0\)
— Таким образом, для выполнения неравенства оба сомножителя должны иметь противоположные знаки.

Шаг 2: Область определения
— Найдем область определения для второго сомножителя:
— \(x^2 — 2x — 8 \geq 0\)
— \(D = 2^2 + 4 \cdot (-8) = 4 + (-32) = 36\)
— \(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 — 6}{2} = -2\)
— \(x_2 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\)

Шаг 3: Анализ знака произведения
— Рассмотрим знак произведения \((x + 2)(x — 4)\)
— \((x + 2)(x — 4) \geq 0\)
— \(x \leq -2, x \geq 4\)

Ответ: \((-\infty; -2] \cup \{4\}\)