Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях параметра а неравенство
\(
4^{\cos(x)} — 2(a — 3) \cdot 2^{\cos(x)} + a + 3 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\)
При каких значениях параметра \( a \) неравенство верно при всех \( x \):
\(
4^{\cos x} — 2(a — 3) \cdot 2^{\cos x} + a + 3 > 0;
\)
\(
2^{2 \cos x} — (2a — 6) \cdot 2^{\cos x} + (a + 3) > 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = (2a — 6)^2 — 4(a + 3);
\)
\(
D = 4a^2 — 24a + 36 — 4a — 12;
\)
\(
D = 4a^2 — 28a + 24,
\)
тогда:
\(
x = \frac{(2a — 6) \pm \sqrt{4a^2 — 28a + 24}}{2}
\)
\(
x = a — 3 \pm \sqrt{a^2 — 7a + 6};
\)
1) Не пересекает ось \( O_x \):
\(
4a^2 — 28a + 24 < 0;
\)
\(
a^2 — 7a + 6 < 0;
\)
Дискриминант:
\(
D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25,
\)
тогда:
\(
a_1 = \frac{7 + 5}{2} \approx 6, \quad a_2 = \frac{7 — 5}{2} = 1;
\)
\(
(a — 1)(a — 6) \leq 0;
\)
\(
1 < a < 6;
\)
При каких значениях параметра \( a \) неравенство верно при всех \( x \):
\(
4^{\cos x} — 2(a — 3) \cdot 2^{\cos x} + a + 3 > 0;
\)
Это неравенство можно переписать в более удобной форме. Заметим, что \( 4^{\cos x} = (2^{\cos x})^2 \). Обозначим \( y = 2^{\cos x} \). Тогда неравенство принимает вид:
\(
y^2 — 2(a — 3) y + (a + 3) > 0.
\)
Это квадратное неравенство относительно \( y \). Для того чтобы оно выполнялось при всех значениях \( y \), необходимо, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения был меньше нуля. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\(
D = b^2 — 4ac,
\)
где \( a = 1 \), \( b = -2(a — 3) \), \( c = a + 3 \). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
\(
D = (-2(a — 3))^2 — 4 \cdot 1 \cdot (a + 3).
\)
Упрощаем выражение для дискриминанта:
\(
D = 4(a — 3)^2 — 4(a + 3).
\)
Раскроем скобки:
\(
D = 4(a^2 — 6a + 9) — 4a — 12.
\)
Теперь упростим это выражение:
\(
D = 4a^2 — 24a + 36 — 4a — 12.
\)
Соберем подобные члены:
\(
D = 4a^2 — 28a + 24.
\)
Теперь, чтобы неравенство выполнялось для всех \( x \), необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля:
\(
D < 0 — 4a^2 — 28a + 24 < 0.
\)
Делим неравенство на 4:
\(
a^2 — 7a + 6 < 0.
\)
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы корней:
\(
D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 — 24 = 25.
\)
Корни уравнения находятся по формуле:
\(
a_1, a_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2}.
\)
Таким образом, мы получаем:
\(
a_1 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6,
\)
\(
a_2 = \frac{7 — 5}{2} = \frac{2}{2} = 1.
\)
Теперь мы можем записать неравенство в виде:
\(
(a — 1)(a — 6) < 0.
\)
Решим это неравенство. Оно выполняется, когда \( a \) находится между корнями:
\(
1 < a < 6.
\)
Таким образом, неравенство
\(
4^{\cos x} — 2(a — 3) \cdot 2^{\cos x} + a + 3 > 0
\)
выполняется при всех \( x \), если
\(
1 < a < 6.
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.