Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях параметра m неравенство
\(
(m+2) \cdot 4^{|x-1|} — 2m \cdot 2^{|x-1|} + 3m + 1 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\)
При каких значениях параметра \( m \) неравенство верно при всех \( x \):
\((m + 2) \cdot 4^{|x-11|} — 2m \cdot 2^{|x-1|} + 3m + 1 > 0;\)
\((m + 2) \cdot 2^{2|x-11|} — 2m \cdot 2^{|x-1|} + (3m + 1) > 0;\)
\(D = (2m)^2 — 4(m + 2)(3m + 1);\)
\(D = 4m^2 — 12m^2 — 4m — 24m — 8;\)
\(D = -8m^2 — 28m — 8,\)
тогда:
\(x = \frac{2m \pm \sqrt{-8m^2 — 28m — 8}}{2(m + 2)};\)
\(x = \frac{m \pm \sqrt{-2m^2 — 7m — 2}}{m + 2}.\)
1) Не пересекает ось \( O_x \):
\(-2m^2 — 7m — 2 < 0, \quad m + 2 > 0;\)
\(2m^2 + 7m + 2 > 0, \quad m > -2;\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 49 — 16 = 33,\)
тогда:
\(m = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{4};\)
\(m < \frac{-7 — \sqrt{33}}{4}, \quad m > \frac{-7 + \sqrt{33}}{4};\)
\(m > \frac{-7 + \sqrt{33}}{4}.\)
2) Наименьшее значение:
\(\frac{m — \sqrt{-2m^2 — 7m — 2}}{m + 2} > 21;\)
\(m — \sqrt{-2m^2 — 7m — 2} > 2m + 4.\)
\(\sqrt{-2m^2 — 7m — 2} < -m — 4;\)
\(-2m^2 — 7m — 2 < m^2 + 8m + 16;\)
\(3m^2 + 15m + 18 > 0;\)
\(m^2 + 5m + 6 > 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,\) тогда:
\(m_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3,\) \(m_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2;\)
\((m + 3)(m + 2) > 0;\)
\(m < -3,\) \(m > -2;\)
\(-m — 4 > 0,\) \(m < -4;\)
\(-2 < m \leq \frac{-7 + \sqrt{33}}{4};\)
3) Наибольшее значение:
\(\frac{m + \sqrt{-2m^2 — 7m — 2}}{m + 2} < 20;\)
\(m + \sqrt{-2m^2 — 7m — 2} < m + 2;\)
\(\sqrt{-2m^2 — 7m — 2} < 2;\)
\(-2m^2 — 7m — 2 < 4;\)
\(2m^2 + 7m + 6 > 0;\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1,\) тогда:
\(m_1 = \frac{-7 — 1}{2 \cdot 2} = -2,\) \(m_2 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 2} = -1.5;\)
\((m + 2)(m — 1.5) > 0;\)
\(m < -2,\) \(m > -1.5;\)
\(-1.5 < m \leq \frac{-7 + \sqrt{33}}{4};\)
Ответ: \(m > -1.5.\)
при каких значениях параметра \(m\) неравенство верно при всех \(x\):
\((m + 2) \cdot 4^{|x-11|} — 2m \cdot 2^{|x-1|} + 3m + 1 > 0;\)
перепишем в эквивалентной форме:
\((m + 2) \cdot 2^{2|x-11|} — 2m \cdot 2^{|x-1|} + (3m + 1) > 0;\)
для анализа определим дискриминант \(D\):
\(D = (2m)^2 — 4(m + 2)(3m + 1);\)
раскроем скобки:
\(D = 4m^2 — 12m^2 — 4m — 24m — 8;\)
упрощаем:
\(D = -8m^2 — 28m — 8;\)
найдем корни уравнения:
\(x = \frac{2m \pm \sqrt{-8m^2 — 28m — 8}}{2(m + 2)};\)
упрощаем выражение:
\(x = \frac{m \pm \sqrt{-2m^2 — 7m — 2}}{m + 2};\)
1) исследуем случай, когда график не пересекает ось \(O_x\):
\(-2m^2 — 7m — 2 < 0,\) \(m + 2 > 0;\)
перепишем первое неравенство в эквивалентной форме:
\(2m^2 + 7m + 2 > 0,\) \(m > -2;\)
найдем дискриминант для квадратного уравнения \(2m^2 + 7m + 2 > 0\):
\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 49 — 16 = 33;\)
корни уравнения:
\(m = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{4};\)
определим интервалы знаков для выражения \(2m^2 + 7m + 2 > 0\):
\(m < \frac{-7 — \sqrt{33}}{4},\) \(m > \frac{-7 + \sqrt{33}}{4};\)
учитывая условие \(m > -2,\) получаем:
\(m > \frac{-7 + \sqrt{33}}{4}.\)
2) исследуем наименьшее значение:
\(\frac{m — \sqrt{-2m^2 — 7m — 2}}{m + 2} > 21;\)
перепишем неравенство:
\(m — \sqrt{-2m^2 — 7m — 2} > 2m + 4;\)
упростим:
\(\sqrt{-2m^2 — 7m — 2} < -m — 4;\)
раскроем квадратный корень:
\(-2m^2 — 7m — 2 < m^2 + 8m + 16;\)
упрощаем:
\(3m^2 + 15m + 18 > 0;\)
найдем дискриминант для квадратного уравнения \(3m^2 + 15m + 18 > 0\):
\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1;\)
корни уравнения:
\(m_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3,\) \(m_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2;\)
определим интервалы знаков для выражения \(3m^2 + 15m + 18 > 0\):
\((m + 3)(m + 2) > 0;\)
\(m < -3,\) \(m > -2;\)
учитывая условие \(-m — 4 > 0,\) получаем:
\(m < -4;\)
совместив условия, получаем:
\(-2 < m \leq \frac{-7 + \sqrt{33}}{4};\)
3) исследуем наибольшее значение:
\(\frac{m + \sqrt{-2m^2 — 7m — 2}}{m + 2} < 20;\)
перепишем неравенство:
\(m + \sqrt{-2m^2 — 7m — 2} < m + 2;\)
упростим:
\(\sqrt{-2m^2 — 7m — 2} < 2;\)
раскроем квадратный корень:
\(-2m^2 — 7m — 2 < 4;\)
упрощаем:
\(2m^2 + 7m + 6 > 0;\)
найдем дискриминант для квадратного уравнения \(2m^2 + 7m + 6 > 0\):
\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1;\)
корни уравнения:
\(m_1 = \frac{-7 — 1}{2 \cdot 2} = -2,\) \(m_2 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 2} = -1.5;\)
определим интервалы знаков для выражения \(2m^2 + 7m + 6 > 0\):
\((m + 2)(m — 1.5) > 0;\)
\(m < -2,\) \(m > -1.5;\)
совместив условия, получаем:
\(-1.5 < m \leq \frac{-7 + \sqrt{33}}{4};\)
ответ: \(m > -1.5.\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.