ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет неравенство:

1) \( 0.2 < 5^{(x+4)} < 125 \)

2) \( \frac{1}{36} < 6^{(3-x)} < 6 \)

3) \( 2 < 0.5^{(x-1)} < 32 \)

1) \(0,2 \leq 5^{x+4} \leq 125\);
\(\frac{1}{5} \leq 5^{x+4} \leq 125\);
\(5^{-1} \leq 5^{x+4} \leq 5^3\);
\(-1 \leq x+4 \leq 3\);
\(-5 \leq x \leq -1\);
Ответ: \(5\).

2) \(\frac{1}{36} \leq 6^{3-x} < 6\);
\(6^{-2} \leq 6^{3-x} < 6^1\);
\(-2 \leq 3-x < 1\);
\(-5 \leq -x < -2\);
\(2 < x \leq 5\);
Ответ: \(3\).

3) \(2 < 0,5^{x-1} \leq 32\);
\(2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} \leq 32\);
\(2^1 < 2^{-(x-1)} \leq 2^5\);
\(1 < -(x-1) \leq 5\);
\(-5 \leq -x < -1\);
\(-4 \leq x < 0\);
Ответ: \(4\).

1) Дано неравенство:
\(0,2 \leq 5^{x+4} \leq 125\).

Преобразуем \(0,2\) в дробь:
\(\frac{1}{5} \leq 5^{x+4} \leq 125\).

Представим числа \( \frac{1}{5} \) и \(125\) как степени числа \(5\):
\(5^{-1} \leq 5^{x+4} \leq 5^3\).

Так как основание \(5 > 1\), функция \(5^x\) строго возрастает, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
\(-1 \leq x+4 \leq 3\).

Вычтем \(4\) из всех частей неравенства:
\(-1 — 4 \leq x+4 — 4 \leq 3 — 4\),
\(-5 \leq x \leq -1\).

Целые значения \(x\) из этого промежутка: \(-5, -4, -3, -2, -1\).

Ответ: \(5\).

2) Дано неравенство:
\(\frac{1}{36} \leq 6^{3-x} < 6\).

Преобразуем числа \(\frac{1}{36}\) и \(6\) в степени числа \(6\):
\(6^{-2} \leq 6^{3-x} < 6^1\).

Так как основание \(6 > 1\), функция \(6^x\) строго возрастает, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
\(-2 \leq 3-x < 1\).

Вычтем \(3\) из всех частей неравенства:
\(-2 — 3 \leq 3 — x — 3 < 1 — 3\),
\(-5 \leq -x < -2\).

Умножим все части на \(-1\), при этом знак неравенства изменится:
\(5 \geq x > 2\),
или
\(2 < x \leq 5\).

Целые значения \(x\) из этого промежутка: \(3, 4, 5\).

Ответ: \(3\).

3) Дано неравенство:
\(2 < 0,5^{x-1} \leq 32\).

Представим \(0,5\) как \(\frac{1}{2}\):
\(2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} \leq 32\).

Перепишем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}\) как \(2^{-(x-1)}\):
\(2 < 2^{-(x-1)} \leq 32\).

Представим \(2\) и \(32\) как степени числа \(2\):
\(2^1 < 2^{-(x-1)} \leq 2^5\).

Так как основание \(2 > 1\), функция \(2^x\) строго возрастает, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
\(1 < -(x-1) \leq 5\).

Умножим все части на \(-1\), при этом знак неравенства изменится:
\(-1 > x-1 \geq -5\).

Добавим \(1\) ко всем частям неравенства:
\(-1 + 1 > x-1 + 1 \geq -5 + 1\),
\(0 > x \geq -4\).

Или, переписав:
\(-4 \leq x < 0\).

Целые значения \(x\) из этого промежутка: \(-4, -3, -2, -1\).

Ответ: \(4\).