ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите сумму целых решений неравенства:

1) \(\frac{1}{3} < 3^{(x+3)} < 9\)

2) \(\frac{1}{8} < 2^{(2-x)} < 16\)

1) \(\frac{1}{3} < 3^{x+3} < 9\);
\(3^{-1} < 3^{x+3} < 3^2\);
\(-1 < x+3 < 2\);
\(-4 < x < -1\);
\(S(-3; -2) = -5\);
Ответ: \(-5\).

2) \(\frac{1}{8} < 2^{2-x} \leq 16\);
\(2^{-3} < 2^{2-x} \leq 2^4\);
\(-3 < 2-x \leq 4\);
\(-2 \leq x < 5\);
\(S(-2; 4) = 7\);
Ответ: \(7\).

1) Дано неравенство:
\(\frac{1}{3} < 3^{x+3} < 9\).

Представим числа \(\frac{1}{3}\) и \(9\) как степени числа \(3\):
\(3^{-1} < 3^{x+3} < 3^2\).

Так как основание \(3 > 1\), функция \(3^x\) строго возрастает, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
\(-1 < x+3 < 2\).

Вычтем \(3\) из всех частей неравенства:
\(-1 — 3 < x+3 — 3 < 2 — 3\),
\(-4 < x < -1\).

Целые значения \(x\) из этого промежутка: \(-3\) и \(-2\).

Найдем сумму этих значений:
\(S(-3; -2) = -3 + (-2) = -5\).

Ответ: \(-5\).

2) Дано неравенство:
\(\frac{1}{8} < 2^{2-x} \leq 16\).

Представим числа \(\frac{1}{8}\) и \(16\) как степени числа \(2\):
\(2^{-3} < 2^{2-x} \leq 2^4\).

Так как основание \(2 > 1\), функция \(2^x\) строго возрастает, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
\(-3 < 2-x \leq 4\).

Вычтем \(2\) из всех частей неравенства:
\(-3 — 2 < 2 — x — 2 \leq 4 — 2\),
\(-5 < -x \leq 2\).

Умножим все части на \(-1\), при этом знак неравенства изменится:
\(5 > x \geq -2\),
или
\(-2 \leq x < 5\).

Целые значения \(x\) из этого промежутка: \(-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\).

Найдем сумму этих значений:
\(S(-2; 4) = -2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7\).

Ответ: \(7\).