ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( f(x) = \sqrt{1 — \left( \frac{1}{2} \right)^x} \)

2) \( f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x+2} — 27}} \)

Найти область определения функции:

1) \(f(x) = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^x}\);
Область определения:
\(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^x \geq 0\);
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1\);
\(x \geq 0\);
Ответ: \(D(x) = [0; +\infty)\).

2) \(f(x) = \frac{3}{\sqrt{3x+2 — 27}}\);
Область определения:
\(3x+2 — 27 > 0\);
\(3x+2 > 27\);
\(x+2 > 9\);
\(x > 1\);
Ответ: \(D(x) = (1; +\infty)\).

Рассмотрим область определения каждой функции подробно.

1) Для функции \(f(x) = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{2}\right)^x}\) необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, так как квадратный корень определён только для неотрицательных чисел. Это условие можно записать в виде:

\(
1 — \left(\frac{1}{2}\right)^x \geq 0
\)

Решим данное неравенство:

\(
\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1
\)

Заметим, что \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) — это экспоненциальная функция с основанием \(\frac{1}{2}\), которая убывает при увеличении \(x\). Для того, чтобы \(\left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1\), необходимо, чтобы \(x \geq 0\), так как при \(x = 0\) значение функции равно 1, а при \(x > 0\) значение функции становится меньше 1.

Таким образом, область определения функции:

\(
D(x) = [0; +\infty)
\)

2) Для функции \(f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x+2} — 27}}\) необходимо, чтобы выражение под корнем было положительным, так как квадратный корень определён только для положительных чисел в знаменателе дроби (чтобы исключить деление на ноль). Это условие можно записать в виде:

\(
3^{x+2} — 27 > 0
\)

Решим данное неравенство:

\(
3^{x+2} > 27
\)

Заметим, что \(27 = 3^3\), поэтому перепишем неравенство:

\(
3^{x+2} > 3^3
\)

Так как основания одинаковые, сравним показатели степени:

\(
x+2 > 3
\)

\(
x > 1
\)

Таким образом, область определения функции:

\(
D(x) = (1; +\infty)
\)