ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{6x — x^2} > \left(\frac{1}{4}\right)^{5}\)

2) \(125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2} > \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}\)

3) \(\frac{0.6^{x+5}}{x^2 — 9} < 1\)

4) \(\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{x — 0.5} > \sqrt{2}\)

5) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{x — 3}} < \frac{9}{4}\)

6) \(4 \cdot 0.5^{x(x + 3)} > 0.25^{2x}\)

1) \( \left(\frac{1}{4}\right)^{6x-x^2} > \left(\frac{1}{4}\right)^5 \);
\(
6x — x^2 < 5;
\)
\(
x^2 — 6x + 5 > 0;
\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{6-4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6+4}{2} = 5;
\)
\(
(x — 1)(x — 5) > 0;
\)
\(
x < 1, \quad x > 5;
\)
Ответ: \( (-\infty; 1) \cup (5; +\infty) \).

2) \( 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2} \geq \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x} \);
\(
125 \cdot 5^{-3x^2} \geq 5^{-2(-4x)};
\)
\(
5^3 \cdot 5^{-3x^2} \geq 5^{8x};
\)
\(
3 — 3x^2 \geq 8x;
\)
\(
3x^2 + 8x — 3 \leq 0;
\)
\(
D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64 + 36 = 100, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-8 — 10}{2 \cdot 3} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3};
\)
\(
x \in [-3; \frac{1}{3}].
\)

\((x + 3)(x — \frac{1}{3}) \leq 0;\)
\(
-3 \leq x \leq \frac{1}{3};
\)
Ответ: \([-3; \frac{1}{3}]\).

3) \(0,6x^2 — 9 < 1;\)
\(
\frac{x + 5}{x^2 — 9} > 0;
\)
\(
(x + 3)(x — 3) > 0;
\)
\(
-5 < x < -3, \quad x > 3;
\)
Ответ: \((-5; -3) \cup (3; +\infty)\).

4) \((\sin \frac{\pi}{6})^{x — 0,5} > \sqrt{2};\)
\(
\left(\frac{1}{2}\right)^{x — 0,5} > 2^{0,5};
\)
\(
2^{-(x — 0,5)} > 2^{0,5};
\)
\(
0,5 — x > 0,5;
\)
\(
x < 0;
\)
Ответ: \((- \infty; 0)\).

5)
\(
\left(\frac{2}{3}\right)^{4x — 3} \leq \frac{9}{4};
\)
\(
\left(\frac{2}{3}\right)^{4x — 3} \leq \left(\frac{2}{3}\right)^{-2};
\)
\(
4x — 3 \geq -2;
\)
\(
4x \geq 1;
\)
\(
x \geq \frac{1}{4};
\)
\(
x \in (0; 4].
\)
Ответ: \((0; 4]\).

6)
\(
4 \cdot 0,5^{x(x + 3)} \geq 0,25^{2x};
\)
\(
2^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 + 3x} \geq \left(\frac{1}{4}\right)^{2x};
\)
\(
2^2 \cdot 2^{-(x^2 + 3x)} \geq 2^{-2 \cdot 2x};
\)
\(
2 — x^2 — 3x \geq -4x;
\)
\(
x^2 — x — 2 \leq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = -1, \quad x_2 = 2;
\)
\(
(x + 1)(x — 2) \leq 0;
\)
\(
-1 \leq x \leq 2.
\)
Ответ: \([-1; 2]\).

1)
\((\frac{1}{4})^{6x-x^2} > (\frac{1}{4})^5\);
Поскольку основания одинаковы, сравниваются показатели:
\(6x — x^2 < 5\);
Приведем уравнение к стандартному виду:
\(x^2 — 6x + 5 > 0\);
Найдем дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\).
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{6-4}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{6+4}{2} = 5\).
Решение неравенства:
\((x — 1)(x — 5) > 0\).
Интервалы знаков:
\(x < 1\), \(x > 5\).
Ответ: \((-\infty; 1) \cup (5; +\infty)\).

2)
\(125 \cdot (\frac{1}{5})^{3x^2} \geq (\frac{1}{25})^{-4x}\);
Представим \(125\) как \(5^3\) и \(25\) как \(5^2\):
\(5^3 \cdot 5^{-3x^2} \geq 5^{-2(-4x)}\);
Упростим показатели:
\(3 — 3x^2 \geq 8x\);
Приведем уравнение к стандартному виду:
\(3x^2 + 8x — 3 \leq 0\);
Найдем дискриминант:
\(D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\).
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-8 — 10}{2 \cdot 3} = -3\), \(x_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\).
Решение неравенства:
\((x + 3)(x — \frac{1}{3}) \leq 0\).
Интервалы знаков:
\(-3 \leq x \leq \frac{1}{3}\).
Ответ: \([-3; \frac{1}{3}]\).

3)
\(0,6x^2 — 9 < 1\);
Перепишем неравенство:
\(\frac{x + 5}{x^2 — 9} > 0\);
Разложим знаменатель:
\((x + 3)(x — 3) > 0\).
Решение по интервалам:
\(-5 < x < -3\), \(x > 3\).
Ответ: \((-5; -3) \cup (3; +\infty)\).

4)
\((\sin \frac{\pi}{6})^{x — 0,5} > \sqrt{2}\);
Подставим значение \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\):
\((\frac{1}{2})^{x — 0,5} > 2^{0,5}\);
Представим в виде степени числа \(2\):
\(2^{-(x — 0,5)} > 2^{0,5}\);
Сравним показатели:
\(0,5 — x > 0,5\);
Решение:
\(x < 0\).
Ответ: \((-\infty; 0)\).

5)
\((\frac{2}{3})^{4x — 3} \leq \frac{9}{4}\);
Представим \(9/4\) как степень числа \(2/3\):
\((\frac{2}{3})^{4x — 3} \leq (\frac{2}{3})^{-2}\);
Сравним показатели:
\(4x — 3 \geq -2\);
Решение:
\(4x \geq 1\), \(x \geq \frac{1}{4}\).
С учетом области определения:
\(x \in (0; 4]\).
Ответ: \((0; 4]\).

6)
\(4 \cdot 0,5^{x(x + 3)} \geq 0,25^{2x}\);
Представим \(0,5\) как \(2^{-1}\) и \(0,25\) как \(2^{-2}\):
\(2^2 \cdot (2^{-1})^{x^2 + 3x} \geq (2^{-2})^{2x}\);
Упростим показатели:
\(2^2 \cdot 2^{-(x^2 + 3x)} \geq 2^{-4x}\);
Сравним показатели:
\(2 — x^2 — 3x \geq -4x\);
Приведем уравнение к стандартному виду:
\(x^2 — x — 2 \leq 0\);
Найдем дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
Корни уравнения:
\(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\).
Решение неравенства:
\((x + 1)(x — 2) \leq 0\).
Интервалы знаков:
\(-1 \leq x \leq 2\).
Ответ: \([-1; 2]\).