ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 3.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2 — x} < \frac{9}{49}\)

2) \(4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} < \left(\frac{1}{8}\right)^{-3x}\)

3) \(\frac{0.3^{x^2 — 4}}{x — 1} > 1\)

4) \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) > x — 1 > 9^{-0.5}\)

1) \((\frac{3}{7})^{x^2-x} < \frac{9}{49};\)
\((\frac{3}{7})^{x^2-x} < (\frac{3}{7})^2;\)
\(x^2 — x > 2;\)
\(x^2 — x — 2 > 0;\)

\(D = 1 — 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = -1 — 3 = -4,\)
\(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = -1 + 3 = 2;\)

\((x + 1)(x — 2) > 0;\)
\(x < -1, \, x > 2;\)

Ответ: \((- \infty; -1) \cup (2; +\infty).\)

2) \(4 \cdot (\frac{1}{2})^{5x^2} \leq (\frac{1}{8})^{-3x};\)
\(\log_2(4) — 5x^2 \leq \log_2(2^{-3x});\)
\(2 — 5x^2 \leq -3x;\)
\(2 — 5x^2 \leq 9x;\)
\(5x^2 + 9x — 2 \geq 0.\)
\(D = 9^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 81 + 40 = 121,\) тогда:
\(x_1 = \frac{-9 — 11}{2 \cdot 5} = -2\) и \(x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = 0,2;\)
\((x + 2)(x — 0,2) \geq 0;\)
\(x \leq -2,\) \(x \geq 0,2;\)

Ответ: \((- \infty; -2] \cup [0,2; +\infty).\)

3) \(0,3x — 1 > 1;\)
\(\frac{x^2 — 4}{x — 1} < 0;\)
\(\frac{(x + 2)(x — 2)}{x — 1} < 0;\)
\(x < -2,\) \(1 < x < 2;\)

Ответ:\((- \infty; -2) \cup (1; 2).\)

4) \((\tan \frac{\pi}{3})^{x — 1} > 9^{-0,5};\)
\((\sqrt{3})^{x — 1} > 32^{-0,5};\)
\(\frac{1}{32^{x — 1}} > 3^{-1};\)
\(0,5x — 0,5 > -1;\)
\(0,5x > -0,5;\)
\(x > -1;\)

Ответ: \((-1; +\infty).\)

1) Рассмотрим неравенство:
\((\frac{3}{7})^{x^2-x} < \frac{9}{49}\).

Заметим, что \(\frac{9}{49} = (\frac{3}{7})^2\), поэтому:
\((\frac{3}{7})^{x^2-x} < (\frac{3}{7})^2\).

Так как основание дроби \(\frac{3}{7} < 1\), то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:
\(x^2 — x > 2\).

Перепишем это как квадратное неравенство:
\(x^2 — x — 2 > 0\).

Решим квадратное уравнение \(x^2 — x — 2 = 0\):
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)

Разложим квадратный трехчлен на множители:
\((x + 1)(x — 2) > 0\).

Решим это неравенство методом интервалов:
Знаки выражения \((x + 1)(x — 2)\) меняются в точках \(x = -1\) и \(x = 2\).
На интервалах:
— при \(x < -1\), произведение положительно;
— при \(-1 < x < 2\), произведение отрицательно;
— при \(x > 2\), произведение положительно.

Таким образом, решение:
\(x < -1\) или \(x > 2\).

Ответ: \((- \infty; -1) \cup (2; +\infty)\).

2) Рассмотрим неравенство:
\(4 \cdot (\frac{1}{2})^{5x^2} \leq (\frac{1}{8})^{-3x}\).

Представим числа в виде степеней двойки:
\(
4 = 2^2, \quad \frac{1}{2} = 2^{-1}, \quad \frac{1}{8} = 2^{-3}.
\)

Подставим эти значения:
\(
2^2 \cdot (2^{-1})^{5x^2} \leq (2^{-3})^{-3x}.
\)

Упростим:
\(
2^2 \cdot 2^{-5x^2} \leq 2^{9x}.
\)

Преобразуем левую часть:
\(
2^{2 — 5x^2} \leq 2^{9x}.
\)

Так как основания одинаковые (\(2 > 1\)), то можно перейти к показателям:
\(
2 — 5x^2 \leq 9x.
\)

Перенесем все в одну сторону:
\(
5x^2 + 9x — 2 \geq 0.
\)

Решим квадратное уравнение \(5x^2 + 9x — 2 = 0\):
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-9 — \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 — 11}{10} = -2, \quad x_2 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = 0,2.
\)

Разложим квадратный трехчлен на множители:
\((x + 2)(x — 0,2) \geq 0\).

Решим методом интервалов:
Знаки выражения \((x + 2)(x — 0,2)\) меняются в точках \(x = -2\) и \(x = 0,2\).
На интервалах:
— при \(x < -2\), произведение положительно;
— при \(-2 < x < 0,2\), произведение отрицательно;
— при \(x > 0,2\), произведение положительно.

Таким образом, решение:
\(x \leq -2\) или \(x \geq 0,2\).

Ответ: \((- \infty; -2] \cup [0,2; +\infty)\).

3) Рассмотрим неравенство:
\(0,3x — 1 > 1\).

Решим его:
\(
0,3x > 2.
\)
\(
x > \frac{2}{0,3} = \frac{20}{3}.
\)

Теперь рассмотрим второе неравенство:
\(\frac{x^2 — 4}{x — 1} < 0\).

Разложим числитель на множители:
\(
\frac{(x + 2)(x — 2)}{x — 1} < 0.
\)

Решим методом интервалов:
Точки, где выражение обращается в ноль: \(x = -2\), \(x = 2\), \(x = 1\).
На интервалах:
— при \(x < -2\), дробь отрицательна;
— при \(-2 < x < 1\), дробь положительна;
— при \(1 < x < 2\), дробь отрицательна;
— при \(x > 2\), дробь положительна.

Таким образом, решение:
\(x < -2\) или \(1 < x < 2\).

Ответ: \((- \infty; -2) \cup (1; 2)\).

4) Рассмотрим неравенство:
\((\tan \frac{\pi}{3})^{x — 1} > 9^{-0,5}\).

Подставим значения:
\(
\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, \quad 9^{-0,5} = \frac{1}{3}.
\)

Получим:
\((\sqrt{3})^{x — 1} > \frac{1}{3}\).

Представим \(\frac{1}{3}\) как \(3^{-1}\):
\(
(\sqrt{3})^{x — 1} > 3^{-1}.
\)

Перейдем к логарифмам:
\(
x — 1 > -1.
\)

Решим:
\(
x > 0.
\)

Ответ: \((0; +\infty)\).