ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 30.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Квалифицированный наборщик текста делает опечатку (набирает неправильный символ) с вероятностью \( p = 0{,}025\% = 0{,}00025 \). Газетный разворот содержит \( n = 16000 \) символов.

1) Запишите формулу для вычисления вероятности того, что наборщик сделает \( k \) опечаток на одном развороте.

2) Используя калькулятор или компьютер, вычислите приближённое значение вероятности количества опечаток для:
\( a) \quad k = 0; \)
\( b) \quad k = 1; \)
\( c) \quad k = 4; \)
\( d) \quad k = 5. \)

3) Воспользовавшись распределением Пуассона, для тех же значений \( k \) вычислите приближённые значения вероятностей количества опечаток и сравните полученные результаты.

4) Вычислите приближённое значение вероятности того, что наборщик сделает \( 10 \) опечаток на развороте.

Разворот содержит 16 000 символов:
\(
p = 0{,}025\% = 0{,}00025;
\)
\(
q = 1 — 0{,}00025 = 0{,}99975;
\)
\(
\lambda = pn = 0{,}00025 \cdot 16\,000 = 4;
\)

1) Вероятность \(k\) опечаток:
\(
P(x = k) = C_{16000}^k \cdot 0{,}00025^k \cdot 0{,}99975^{16000 — k};
\)

2) Значения функции:
а)
\(
P(x = 0) = C_{16000}^0 \cdot 0{,}00025^0 \cdot 0{,}99975^{16000} \approx 1{,}831\%;
\)

б)
\(
P(x = 1) = C_{16000}^1 \cdot 0{,}00025^1 \cdot 0{,}99975^{15999} \approx 7{,}324\%;
\)

в)
\(
P(x = 4) = C_{16000}^4 \cdot 0{,}00025^4 \cdot 0{,}99975^{15996} \approx 19{,}539\%;
\)

г)
\(
P(x = 5) = C_{16000}^5 \cdot 0{,}00025^5 \cdot 0{,}99975^{15995} \approx 15{,}631\%;
\)

3) Для распределения Пуассона:
а)
\(
P(x = 0) = \frac{4^0}{0!} e^{-4} = \frac{1}{e^4} \approx 1{,}832\%;
\)

б)
\(
P(x = 1) = \frac{4^1}{1!} e^{-4} = \frac{4}{e^4} \approx 7{,}326\%;
\)

в)
\(
P(x = 4) = \frac{4^4}{4!} e^{-4} = \frac{256}{24 e^4} = \frac{32}{3 e^4} \approx 19{,}537\%;
\)

г)
\(
P(x = 5) = \frac{4^5}{5!} e^{-4} = \frac{1024}{120 e^4} = \frac{128}{15 e^4} \approx 15{,}629\%;
\)

4) Вероятность десяти опечаток:
\(
P(x = 10) = \frac{4^{10}}{10!} e^{-4} = \frac{16\,384}{56\,700 e^4} \approx 0{,}529\%;
\)

Разворот содержит \( n = 16000 \) символов. Вероятность опечатки для каждого символа равна:
\(
p = 0{,}025\% = 0{,}00025.
\)
Вероятность того, что символ введён правильно:
\(
q = 1 — p = 1 — 0{,}00025 = 0{,}99975.
\)
Среднее количество опечаток на развороте можно вычислить как:
\(
\lambda = p \cdot n = 0{,}00025 \cdot 16000 = 4.
\)

1) Формула для вычисления вероятности \( k \) опечаток на развороте:
\(
P(x = k) = C_{16000}^k \cdot p^k \cdot q^{16000 — k},
\)
где \( C_{n}^k \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

2) Значения функции вероятности для различных \( k \):
а) Для \( k = 0 \):
\(
P(x = 0) = C_{16000}^0 \cdot p^0 \cdot q^{16000} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}99975^{16000} \approx 1{,}831\%.
\)

б) Для \( k = 1 \):
\(
P(x = 1) = C_{16000}^1 \cdot p^1 \cdot q^{15999} = 16000 \cdot 0{,}00025^1 \cdot 0{,}99975^{15999} \approx 7{,}324\%.
\)

в) Для \( k = 4 \):
\(
P(x = 4) = C_{16000}^4 \cdot p^4 \cdot q^{15996} = \frac{16000!}{4!(16000-4)!} \cdot 0{,}00025^4 \cdot 0{,}99975^{15996} \approx
\)
\(
\approx 19{,}539\%.
\)

г) Для \( k = 5 \):
\(
P(x = 5) = C_{16000}^5 \cdot p^5 \cdot q^{15995} = \frac{16000!}{5!(16000-5)!} \cdot 0{,}00025^5 \cdot 0{,}99975^{15995} \approx
\)
\(
\approx 15{,}631\%.
\)

3) Для распределения Пуассона с параметром \( \lambda = 4 \):
а) Для \( k = 0 \):
\(
P(x = 0) = \frac{4^0}{0!} e^{-4} = \frac{1}{e^4} \approx 1{,}832\%.
\)

б) Для \( k = 1 \):
\(
P(x = 1) = \frac{4^1}{1!} e^{-4} = \frac{4}{e^4} \approx 7{,}326\%.
\)

в) Для \( k = 4 \):
\(
P(x = 4) = \frac{4^4}{4!} e^{-4} = \frac{256}{24 e^4} = \frac{32}{3 e^4} \approx 19{,}537\%.
\)

г) Для \( k = 5 \):
\(
P(x = 5) = \frac{4^5}{5!} e^{-4} = \frac{1024}{120 e^4} = \frac{128}{15 e^4} \approx 15{,}629\%.
\)

4) Вероятность того, что наборщик сделает \( k = 10 \) опечаток:
\(
P(x = 10) = \frac{4^{10}}{10!} e^{-4} = \frac{16\,384}{56\,700 e^4} \approx 0{,}529\%.
\)