ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 30.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Оцените вероятность того, что из 1000 учащихся школы найдётся ровно 5 школьников, родившихся 1 сентября.

Вероятность родиться первого сентября:
\(
p = \frac{1}{365};
\)

Ровно 5 из 1000 человек родились в этот день:
\(
\lambda = p \cdot n = 1000 \cdot \frac{1}{365} = \frac{200}{73} \approx 2{,}74;
\)

Вероятность того, что ровно 5 человек родились первого сентября:
\(
P(x = 5) = \frac{2{,}74^5}{5!} \cdot e^{-2{,}74} \approx \frac{154{,}4}{120 e^{2{,}74}} \approx 8{,}3\%;
\)

Ответ: приблизительно 8,3%.

Вероятность родиться первого сентября можно определить как:
\(
p = \frac{1}{365}.
\)

Рассмотрим группу из 1000 человек. Мы хотим узнать, сколько из них, в среднем, родятся первого сентября. Для этого вычислим среднее количество людей, родившихся в этот день:
\(
\lambda = p \cdot n = 1000 \cdot \frac{1}{365} = \frac{1000}{365} = \frac{200}{73} \approx 2{,}74.
\)

Теперь мы можем использовать распределение Пуассона для расчета вероятности того, что ровно 5 человек родились первого сентября. Формула для вероятности \( P(x = k) \) в распределении Пуассона выглядит следующим образом:
\(
P(x = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}.
\)

В нашем случае \( k = 5 \), поэтому подставим значения в формулу:
\(
P(x = 5) = \frac{2{,}74^5}{5!} \cdot e^{-2{,}74}.
\)

Теперь вычислим значение \( 2{,}74^5 \) и \( 5! \):
\(
2{,}74^5 \approx 154{,}4,
\)
\(
5! = 120.
\)

Таким образом, подставим эти значения в формулу вероятности:
\(
P(x = 5) = \frac{154{,}4}{120} \cdot e^{-2{,}74}.
\)

Теперь нужно вычислить значение \( e^{-2{,}74} \). Приблизительно это равно:
\(
e^{-2{,}74} \approx 0{,}064.
\)

Теперь подставим это значение в формулу:
\(
P(x = 5) \approx \frac{154{,}4}{120} \cdot 0{,}064 \approx 8{,}3\%.
\)

Ответ: приблизительно 8,3%.