ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 30.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \( z \) имеет распределение Пуассона с параметром \( \lambda = 14{,}2 \). Найдите, при каком значении \( k \) вероятность события \( P(z = k) \) будет наибольшей.

Величина \( z \) имеет распределение Пуассона:
\(
\lambda = 14{,}2;
\)

Вероятность будет наибольшей, если:
\(
P(z = k) > P(z = k — 1);
\)

То есть:
\(
\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda} > \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \cdot e^{-\lambda};
\)

Сокращаем:
\(
\frac{\lambda^k}{k!} > \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} — \frac{\lambda}{k} > 1 — k < \lambda;
\)

Таким образом, максимальная вероятность достигается при \( k \leq 14{,}2 \), то есть при \( k = 14 \).

Ответ: 14.

Величина \( z \) имеет распределение Пуассона с параметром:
\(
\lambda = 14{,}2.
\)

Вероятность того, что случайная величина \( z \) примет значение \( k \), будет наибольшей, если выполняется неравенство:
\(
P(z = k) > P(z = k — 1).
\)

Это можно записать в виде:
\(
\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda} > \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \cdot e^{-\lambda}.
\)

Сокращая \( e^{-\lambda} \) с обеих сторон, получаем:
\(
\frac{\lambda^k}{k!} > \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}.
\)

Далее, мы можем упростить это неравенство:
\(
\frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\lambda^{k-1} \cdot \lambda}{k \cdot (k-1)!}.
\)

Таким образом, неравенство принимает вид:
\(
\frac{\lambda}{k} > 1.
\)

Это неравенство можно переписать как:
\(
k < \lambda.
\)

Следовательно, максимальная вероятность достигается при \( k \leq 14{,}2 \). Поскольку \( k \) должно быть целым числом, то максимальная вероятность будет при \( k = 14 \).

Ответ: 14.