ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 30.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Первые капли дождя оставляют на сухом асфальте школьной баскетбольной площадки тёмные точки-отметины. Найдите вероятность того, что в центральный круг радиуса 2 м попало 5 дождевых капель, если размер всей площадки 24 x 12 м и на неё упало 200 капель дождя. Решите задачу, воспользовавшись: 1) биномиальным распределением; 2) распределением Пуассона.

Вероятность попадания капли в круг:
\(
p = \frac{\pi \cdot 2^2}{24 \cdot 12} = \frac{\pi}{72} \approx 0{,}0436;
\)

1) Ровно 5 из 200 капель попали в круг:
\(
P(x = 5) = C_{200}^5 \cdot p^5 \cdot q^{195};
\)

\(
P(x = 5) = \frac{200!}{5! \cdot 195!} \cdot 0{,}0436^5 \cdot 0{,}9564^{195} \approx 6{,}7\%;
\)

Ответ: примерно 6,7%.

2) Ровно 5 из 200 капель попали в круг (приближённо по Пуассону):
\(
\lambda = np = 200 \cdot 0{,}0436 \approx 8{,}72;
\)

\(
P(x = 5) = \frac{8{,}72^5}{5!} \cdot e^{-8{,}72} \approx \frac{50\,417{,}6}{120 \cdot e^{8{,}72}} \approx 6{,}8\%;
\)

Ответ: примерно 6,8%.

Вероятность попадания капли в круг можно рассчитать следующим образом:
\(
p = \frac{\pi \cdot 2^2}{24 \cdot 12} = \frac{\pi}{72} \approx 0{,}0436.
\)

Теперь рассмотрим первую задачу: Ровно 5 из 200 капель попали в круг. Для этого мы используем биномиальное распределение. Вероятность того, что ровно \( x \) капель попали в круг, вычисляется по формуле:
\(
P(x = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k},
\)
где \( C_n^k \) — биномиальный коэффициент, \( p \) — вероятность попадания капли в круг, \( q = 1 — p \) — вероятность, что капля не попала в круг.

В нашем случае \( n = 200 \), \( k = 5 \), и \( q = 1 — p = 0{,}9564 \). Подставляя значения, получаем:
\(
P(x = 5) = C_{200}^5 \cdot p^5 \cdot q^{195}.
\)

Теперь можем подставить биномиальный коэффициент:
\(
C_{200}^5 = \frac{200!}{5! \cdot 195!}.
\)

Таким образом, полное выражение для вероятности будет выглядеть так:
\(
P(x = 5) = \frac{200!}{5! \cdot 195!} \cdot (0{,}0436)^5 \cdot (0{,}9564)^{195} \approx 6{,}7\%.
\)

Ответ: примерно 6,7%.

Теперь рассмотрим вторую задачу: Ровно 5 из 200 капель попали в круг (приближённо по Пуассону). Для этого мы вычислим среднее значение (\( \lambda \)):
\(
\lambda = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}0436 \approx 8{,}72.
\)

Теперь используем распределение Пуассона для вычисления вероятности:
\(
P(x = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}.
\)

В нашем случае \( k = 5 \), поэтому подставляем значения:
\(
P(x = 5) = \frac{8{,}72^5}{5!} e^{-8{,}72}.
\)

Теперь вычислим значение \( 8{,}72^5 \) и \( 5! \):
\(
8{,}72^5 \approx 50\,417{,}6,
\)
\(
5! = 120.
\)

Таким образом, подставляем эти значения в формулу:
\(
P(x = 5) = \frac{50\,417{,}6}{120} e^{-8{,}72} \approx 6{,}8\%.
\)

Ответ: примерно 6,8%.