ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 30.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Карлсон нашёл в доме у Малыша большой кулёк конфет и принялся их есть, выбирая сначала только шоколадные. Когда количество шоколадных конфет сократилось до 8 % от оставшихся конфет, Карлсон со словами: «Эх… попадёшь к вам в дом, научишься есть всякую гадость» — съел ещё 50 конфет без разбору. Оцените вероятность того, что среди этих 50 конфет Карлсону попалось от 5 до 7 шоколадных включительно. Решите задачу, воспользовавшись: 1) биномиальным распределением; 2) распределением Пуассона.

Вероятность поедания шоколадной конфеты:
\(
p = 8\% = 0{,}08, \quad q = 1 — 0{,}08 = 0{,}92;
\)

1) От 5 до 7 конфет из 50 были шоколадными:
\(
P = P(x=5) + P(x=6) + P(x=7);
\)
\(
P = C_{50}^5 p^5 q^{45} + C_{50}^6 p^6 q^{44} + C_{50}^7 p^7 q^{43};
\)
\(
P = \frac{50!}{5! \cdot 45!} 0{,}08^5 \cdot 0{,}92^{45} + \frac{50!}{6! \cdot 44!} 0{,}08^6 \cdot 0{,}92^{44} + \frac{50!}{7! \cdot 43!} 0{,}08^7 \cdot 0{,}92^{43};
\)
\(
P \approx 0{,}16292 + 0{,}10625 + 0{,}05807 \approx 0{,}32724 \approx 33\%;
\)

Ответ: примерно 33%.

2) От 5 до 7 конфет из 50 были шоколадными (приближённо по Пуассону):
\(
\lambda = pn = 50 \cdot 0{,}08 = 4;
\)
\(
P = P(x=5) + P(x=6) + P(x=7);
\)
\(
P = \frac{4^5}{5!} e^{-4} + \frac{4^6}{6!} e^{-4} + \frac{4^7}{7!} e^{-4};
\)
\(
P \approx 0{,}15629 + 0{,}10419 + 0{,}05954 \approx 0{,}32002 \approx 32\%;
\)

Ответ: примерно 32%.

Вероятность поедания шоколадной конфеты можно определить следующим образом:
\(
p = 8\% = 0{,}08, \quad q = 1 — 0{,}08 = 0{,}92.
\)

1) Рассмотрим вероятность того, что от 5 до 7 конфет из 50 были шоколадными. Для этого мы используем биномиальное распределение. Вероятность того, что ровно \( x \) конфет были шоколадными, вычисляется по формуле:
\(
P(x = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k},
\)
где \( C_n^k \) — биномиальный коэффициент, \( p \) — вероятность того, что конфета шоколадная, а \( q = 1 — p \) — вероятность того, что конфета не шоколадная.

В нашем случае \( n = 50 \), и мы ищем \( P \) для \( x = 5, 6, 7 \):
\(
P = P(x=5) + P(x=6) + P(x=7).
\)

Подставляя значения в формулу, получаем:
\(
P = C_{50}^5 p^5 q^{45} + C_{50}^6 p^6 q^{44} + C_{50}^7 p^7 q^{43}.
\)

Теперь можем подставить биномиальные коэффициенты:
\(
P = \frac{50!}{5! \cdot 45!} 0{,}08^5 \cdot 0{,}92^{45} + \frac{50!}{6! \cdot 44!} 0{,}08^6 \cdot 0{,}92^{44} + \frac{50!}{7! \cdot 43!} 0{,}08^7 \cdot 0{,}92^{43}.
\)

Теперь вычислим каждую из вероятностей:
1. Для \( x = 5 \):
\(
P(x = 5) = \frac{50!}{5! \cdot 45!} \cdot (0{,}08)^5 \cdot (0{,}92)^{45} \approx 0{,}16292.
\)

2. Для \( x = 6 \):
\(
P(x = 6) = \frac{50!}{6! \cdot 44!} \cdot (0{,}08)^6 \cdot (0{,}92)^{44} \approx 0{,}10625.
\)

3. Для \( x = 7 \):
\(
P(x = 7) = \frac{50!}{7! \cdot 43!} \cdot (0{,}08)^7 \cdot (0{,}92)^{43} \approx 0{,}05807.
\)

Теперь суммируем все вероятности:
\(
P \approx 0{,}16292 + 0{,}10625 + 0{,}05807 \approx 0{,}32724 \approx 33\%.
\)

Ответ: примерно 33%.

2) Рассмотрим вероятность того, что от 5 до 7 конфет из 50 были шоколадными (приближённо по Пуассону). Для этого вычисляем параметр распределения:
\(
\lambda = pn = 50 \cdot 0{,}08 = 4.
\)

Теперь используем распределение Пуассона для расчета вероятности:
\(
P = P(x=5) + P(x=6) + P(x=7).
\)

Формула для вероятности в распределении Пуассона:
\(
P(x = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}.
\)

Подставляем значения:
\(
P = \frac{4^5}{5!} e^{-4} + \frac{4^6}{6!} e^{-4} + \frac{4^7}{7!} e^{-4}.
\)

Теперь вычислим каждую из вероятностей:
1. Для \( x = 5 \):
\(
P(x = 5) = \frac{4^5}{5!} e^{-4} \approx 0{,}15629.
\)

2. Для \( x = 6 \):
\(
P(x = 6) = \frac{4^6}{6!} e^{-4} \approx 0{,}10419.
\)

3. Для \( x = 7 \):
\(
P(x = 7) = \frac{4^7}{7!} e^{-4} \approx 0{,}05954.
\)

Теперь суммируем все вероятности:
\(
P \approx 0{,}15629 + 0{,}10419 + 0{,}05954 \approx 0{,}32002 \approx 32\%.
\)

Ответ: примерно 32%.