ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 30.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На аварийно опасном участке дороги в среднем раз в три дня случается дорожно-транспортное происшествие. Найдите вероятность того, что в течение недели на этом участке дороги будет зарегистрировано не менее 3 аварий.

Вероятность аварии за один день:
\(
p = \frac{1}{3};
\)

За семь дней будет не менее трёх аварий:
\(
\lambda = p \cdot n = 7 \cdot \frac{1}{3} \approx 2{,}33;
\)

Общая вероятность того, что будет не менее трёх аварий:
\(
P = 1 — P(x=0) — P(x=1) — P(x=2);
\)

Где \( P(x=k) \) вычисляется по формуле Пуассона:
\(
P(x=k) = \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}.
\)

Подставляя значения, получаем:
\(
P = 1 — \frac{2{,}33^0}{0!} \cdot e^{-2{,}33} — \frac{2{,}33^1}{1!} \cdot e^{-2{,}33} — \frac{2{,}33^2}{2!} \cdot e^{-2{,}33};
\)

Теперь вычислим каждое из значений:
\(
P \approx 1 — 0{,}097 — 0{,}226 — 0{,}264 \approx 41\%;
\)

Ответ: примерно 41%.

Вероятность аварии за один день можно определить следующим образом:
\(
p = \frac{1}{3}.
\)

Теперь, чтобы рассчитать вероятность того, что за семь дней будет не менее трёх аварий, мы сначала вычислим параметр \(\lambda\), который равен произведению вероятности \(p\) и количества дней \(n\):
\(
\lambda = p \cdot n = 7 \cdot \frac{1}{3} \approx 2{,}33.
\)

Чтобы найти общую вероятность того, что будет не менее трёх аварий, мы можем воспользоваться формулой:
\(
P = 1 — P(x=0) — P(x=1) — P(x=2).
\)

Где \(P(x=k)\) вычисляется по формуле распределения Пуассона:
\(
P(x=k) = \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}.
\)

Теперь подставим значения в формулу:
\(
P = 1 — \frac{2{,}33^0}{0!} \cdot e^{-2{,}33} — \frac{2{,}33^1}{1!} \cdot e^{-2{,}33} — \frac{2{,}33^2}{2!} \cdot e^{-2{,}33}.
\)

Теперь вычислим каждое из значений. Начнём с \(P(x=0)\):
\(
P(x=0) = \frac{2{,}33^0}{0!} \cdot e^{-2{,}33} = 1 \cdot e^{-2{,}33} \approx 0{,}097.
\)

Теперь вычислим \(P(x=1)\):
\(
P(x=1) = \frac{2{,}33^1}{1!} \cdot e^{-2{,}33} = 2{,}33 \cdot e^{-2{,}33} \approx 0{,}226.
\)

И наконец, \(P(x=2)\):
\(
P(x=2) = \frac{2{,}33^2}{2!} \cdot e^{-2{,}33} = \frac{5{,}4289}{2} \cdot e^{-2{,}33} \approx 0{,}264.
\)

Теперь подставим все эти значения в общую формулу:
\(
P \approx 1 — 0{,}097 — 0{,}226 — 0{,}264.
\)

Вычисляя это выражение, получаем:
\(
P \approx 1 — 0{,}587 \approx 0{,}413.
\)

Переведя это в проценты, получаем примерно 41%.

Ответ: примерно 41%.