ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 31.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайные величины \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) независимы и имеют распределение Бернулли с параметром \( p \). Найдите распределение случайной величины \( y = x_1 x_2 \cdots x_n \).

Случайные величины \( x_i \) независимы и имеют распределение Бернулли с параметром \( p \):

1) Распределение величины \( y \):
\(
y = x_1 x_2 x_3 \ldots x_n;
\)
\(
y = 1, \quad x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 1;
\)

2) Вероятность первого значения:
\(
P(y = 1) = P(x_1 = 1) \cdot P(x_2 = 1) \cdot P(x_3 = 1) \cdot \ldots \cdot P(x_n = 1)
\)
\(
= p \cdot p \cdot p \cdot \ldots \cdot p = p^n;
\)

3) Вероятность второго значения:
\(
P(y = 0) = 1 — P(y = 1) = 1 — p^n;
\)

Ответ:
\(
P(y = 0) = 1 — p^n; \quad P(y = 1) = p^n.
\)

Случайные величины \( x_i \) независимы и имеют распределение Бернулли с параметром \( p \). Это означает, что каждая случайная величина \( x_i \) может принимать значение 1 с вероятностью \( p \) и значение 0 с вероятностью \( 1 — p \).

1) Распределение величины \( y \):
\(
y = x_1 x_2 x_3 \ldots x_n.
\)
Величина \( y \) равна 1 только в том случае, если все \( x_i \) равны 1:
\(
y = 1, \quad x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 1.
\)

2) Вероятность первого значения:
Чтобы найти вероятность того, что \( y = 1 \), необходимо, чтобы все \( n \) случайных величин \( x_i \) приняли значение 1. Так как они независимы, вероятность этого события равна произведению вероятностей:
\(
P(y = 1) = P(x_1 = 1) \cdot P(x_2 = 1) \cdot P(x_3 = 1) \cdots P(x_n = 1).
\)
Подставляя значения, получаем:
\(
P(y = 1) = p \cdot p \cdot p \cdots p = p^n.
\)

3) Вероятность второго значения:
Теперь найдем вероятность того, что \( y = 0 \). Это событие произойдет, если хотя бы одна из случайных величин \( x_i \) равна 0. Таким образом, вероятность второго значения можно выразить как:
\(
P(y = 0) = 1 — P(y = 1).
\)
Подставляя найденное значение, получаем:
\(
P(y = 0) = 1 — p^n.
\)

Ответ:
\(
P(y = 0) = 1 — p^n; \quad P(y = 1) = p^n.
\)