ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 31.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайные величины \( x \) и \( y \) являются независимыми. Верно ли, что случайные величины \( x^3 \) и \( y^3 \) также являются независимыми?

Величины \( x \) и \( y \) независимы:
\(
P(x \cap y) = P(x) \cdot P(y);
\)

Величины \( x^3 \) и \( y^3 \) также независимы:
\(
P(x^3) = P(x) \cdot P(x) \cdot P(x) = (P(x))^3;
\)
\(
P(y^3) = P(y) \cdot P(y) \cdot P(y) = (P(y))^3;
\)
\(
P(x^3 \cap y^3) = (P(x))^3 \cdot (P(y))^3;
\)

Ответ: да.

Величины \( x \) и \( y \) независимы, что означает, что вероятность их совместного появления равна произведению их индивидуальных вероятностей:
\(
P(x \cap y) = P(x) \cdot P(y).
\)

Теперь рассмотрим величины \( x^3 \) и \( y^3 \). Чтобы показать, что они также независимы, нам необходимо рассмотреть их вероятности. Сначала найдем вероятность \( x^3 \):
\(
P(x^3) = P(x) \cdot P(x) \cdot P(x) = (P(x))^3.
\)

Аналогично для величины \( y^3 \):
\(
P(y^3) = P(y) \cdot P(y) \cdot P(y) = (P(y))^3.
\)

Теперь мы можем найти вероятность совместного появления \( x^3 \) и \( y^3 \):
\(
P(x^3 \cap y^3) = P(x^3) \cdot P(y^3).
\)
Подставляя ранее найденные вероятности, получаем:
\(
P(x^3 \cap y^3) = (P(x))^3 \cdot (P(y))^3.
\)

Поскольку \( P(x^3 \cap y^3) \) выражается как произведение индивидуальных вероятностей, мы можем сделать вывод, что величины \( x^3 \) и \( y^3 \) также независимы.

Ответ: да.