ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 31.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В некотором опыте наблюдают две независимые случайные величины х и у, имеющие биномиальное распределение, х — с параметрами n и p, а у — с параметрами m и p. Найдите распределение случайной величины x+y.

Случайные величины \( x \) и \( y \) независимые и имеют биномиальное распределение:
\( x \) – с параметрами \( n \) и \( p \);
\( y \) – с параметрами \( m \) и \( p \);

1) Сумма вероятностей величины \( x \):
\(
\sum_{k=0}^n P(x = k) = \sum_{k=0}^n C_n^k p^k q^{n-k} = (q + p)^n;
\)

2) Сумма вероятностей величины \( y \):
\(
\sum_{j=0}^m P(y = j) = \sum_{j=0}^m C_m^j p^j q^{m-j} = (q + p)^m;
\)

3) Сумма вероятностей величины \( x + y \):
\(
\sum_{i=0}^{m+n} P(x + y = i) = \sum_{k=0}^n P(x = k) \cdot \sum_{j=0}^m P(y = j) = (q + p)^n (q + p)^m =
\)
\(
= (q + p)^{m+n};
\)

Ответ: биномиальное с параметрами \( m + n \) и \( p \).

Случайные величины \( x \) и \( y \) независимы и имеют биномиальное распределение. Величина \( x \) имеет параметры \( n \) и \( p \), а величина \( y \) имеет параметры \( m \) и \( p \).

1) Рассмотрим сумму вероятностей величины \( x \):
\(
\sum_{k=0}^n P(x = k).
\)
Согласно формуле биномиального распределения, вероятность того, что \( x \) примет значение \( k \), равна:
\(
P(x = k) = C_n^k p^k q^{n-k},
\)
где \( q = 1 — p \). Подставляя это в сумму, получаем:
\(
\sum_{k=0}^n P(x = k) = \sum_{k=0}^n C_n^k p^k q^{n-k}.
\)
По теореме о биномиальном распределении, эта сумма равна:
\(
(q + p)^n.
\)

2) Теперь рассмотрим сумму вероятностей величины \( y \):
\(
\sum_{j=0}^m P(y = j).
\)
Согласно формуле биномиального распределения, вероятность того, что \( y \) примет значение \( j \), равна:
\(
P(y = j) = C_m^j p^j q^{m-j}.
\)
Таким образом, сумма вероятностей для величины \( y \) будет:
\(
\sum_{j=0}^m P(y = j) = \sum_{j=0}^m C_m^j p^j q^{m-j}.
\)
По теореме о биномиальном распределении, эта сумма равна:
\(
(q + p)^m.
\)

3) Теперь найдем сумму вероятностей для величины \( x + y \):
\(
\sum_{i=0}^{m+n} P(x + y = i).
\)
Согласно свойствам независимых случайных величин, вероятность совместного появления можно выразить как произведение вероятностей:
\(
P(x + y = i) = \sum_{k=0}^n P(x = k) \cdot \sum_{j=0}^m P(y = j).
\)
Подставляя ранее найденные суммы, получаем:
\(
\sum_{i=0}^{m+n} P(x + y = i) = (q + p)^n (q + p)^m.
\)
По свойствам степеней, это можно записать как:
\(
(q + p)^{m+n}.
\)

Ответ: величина \( x + y \) имеет биномиальное распределение с параметрами \( m + n \) и \( p \).