ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 31.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Имеется 11 коробок с белыми и чёрными шарами. В первых десяти коробках лежит по одному белому и чёрному шару, а в одиннадцатой — два белых и один чёрный шар. Из каждой коробки наугад берут по одному шару. Случайная величина х равна количеству вытянутых белых шаров. Найдите распределение случайной величины х.

Имеется 11 коробок с шарами:
\(n = 10\) — один белый и один чёрный;
\(m = 1\) — два белых и один чёрный;
\(x\) — число вытянутых белых шаров;

1) Не вытянут ни один шар:
\(
P(x = 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2^{10}} \cdot \frac{1}{3^2};
\)

2) Вытянуто одиннадцать шаров:
\(
P(x = 11) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2^2}{2^{10} \cdot 3^2};
\)

3) Вытянуто \(k\) шаров (\(1 \leq k \leq 10\)):
\(
P(x = k) = \frac{1}{3} \cdot C_{10}^k \cdot \frac{1}{2^{10}} + \frac{2}{3} \cdot C_{10}^{k-1} \cdot \frac{1}{2^{10}};
\)

Имеется 11 коробок с шарами:
\(n = 10\) — один белый и один чёрный;
\(m = 1\) — два белых и один чёрный;
\(x\) — число вытянутых белых шаров;

1) Не вытянут ни один шар:
\(
P(x = 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2^{10}} \cdot \frac{1}{3^2};
\)

В этом случае мы рассматриваем ситуацию, когда ни один шар не вытягивается. Для первых 10 коробок, где по одному белому и одному чёрному шару, вероятность не вытянуть шар равна \( \frac{1}{2} \). Для последней коробки, где два белых и один чёрный шар, вероятность не вытянуть шар равна \( \frac{1}{3} \). Таким образом, общая вероятность равна произведению этих вероятностей.

2) Вытянуто одиннадцать шаров:
\(
P(x = 11) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2^2}{2^{10} \cdot 3^2};
\)

Здесь мы рассматриваем ситуацию, когда вытягиваются все 11 шаров. Вероятность вытянуть белый шар из первых 10 коробок равна \( \frac{1}{2} \), а из последней коробки, где два белых шара, вероятность вытянуть белый шар равна \( \frac{2}{3} \). Таким образом, общая вероятность равна произведению этих вероятностей.

3) Вытянуто \(k\) шаров (\(1 \leq k \leq 10\)):
\(
P(x = k) = \frac{1}{3} \cdot C_{10}^k \cdot \frac{1}{2^{10}} + \frac{2}{3} \cdot C_{10}^{k-1} \cdot \frac{1}{2^{10}};
\)

В этом случае мы рассматриваем ситуацию, когда вытягивается \(k\) белых шаров. Первая часть формулы \( \frac{1}{3} \cdot C_{10}^k \cdot \frac{1}{2^{10}} \) соответствует вероятности вытянуть \(k\) белых шаров из первых 10 коробок, а вторая часть \( \frac{2}{3} \cdot C_{10}^{k-1} \cdot \frac{1}{2^{10}} \) соответствует вероятности вытянуть \(k-1\) белых шаров из первых 10 коробок и один белый шар из последней коробки. Здесь \(C_{10}^k\) обозначает биномиальный коэффициент.