ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 31.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В некотором опыте наблюдают две независимые случайные величины \(X\) и \(Y\), имеющие геометрические распределения. Докажите, что случайная величина \(\min(X, Y)\) также имеет геометрическое распределение.

Случайные величины \(x\) и \(y\) независимые и имеют геометрическое распределение:

1) Вероятность величины \(x\):
\(
P(x = k) = (1 — p)^{k-1} \cdot p;
\)
\(
P(x > z) = \sum_{k = z+1}^{\infty} (1 — p)^{k-1} \cdot p = p \cdot \left((1-p)^z + (1-p)^{z+1} + \ldots \right) =
\)
\(
= p \cdot \frac{(1-p)^z}{1 — (1-p)} = (1-p)^z;
\)

2) Вероятность величины \(y\):
\(
P(y = k) = (1 — r)^{k-1} \cdot r;
\)
\(
P(y > z) = (1 — r)^z;
\)

3) Вероятность величины \(\min(x,y)\):
\(
P(\min(x,y) \leq z) = 1 — P(x > z, y > z);
\)
\(
P(\min(x,y) \leq z) = 1 — (1-p)^z (1-r)^z;
\)
\(
P(\min(x,y) = z) = P(\min(x,y) \leq z) — P(\min(x,y) \leq z-1);
\)
\(
P(\min(x,y) = z) = \left(1 — (1-p)^z (1-r)^z\right) — \left(1 — (1-p)^{z-1} (1-r)^{z-1}\right);
\)
\(
P(\min(x,y) = z) = (1-p)^{z-1} (1-r)^{z-1} \cdot \left(1 — (1-p)(1-r)\right);
\)

Что и требовалось доказать.

Случайные величины \(x\) и \(y\) независимые и имеют геометрическое распределение:

1) Вероятность величины \(x\):
\(
P(x = k) = (1 — p)^{k-1} \cdot p;
\)
Вероятность того, что величина \(x\) больше некоторого значения \(z\):
\(
P(x > z) = \sum_{k = z+1}^{\infty} (1 — p)^{k-1} \cdot p.
\)
Это можно упростить, выделив общий множитель \(p\):
\(
P(x > z) = p \cdot \left((1-p)^z + (1-p)^{z+1} + \ldots \right).
\)
Сумма геометрической прогрессии даёт:
\(
P(x > z) = p \cdot \frac{(1-p)^z}{1 — (1-p)} = (1-p)^z.
\)

2) Вероятность величины \(y\):
\(
P(y = k) = (1 — r)^{k-1} \cdot r;
\)
Вероятность того, что величина \(y\) больше некоторого значения \(z\):
\(
P(y > z) = (1 — r)^z.
\)

3) Вероятность величины \(\min(x,y)\):
Для нахождения вероятности того, что минимум из \(x\) и \(y\) меньше или равен \(z\):
\(
P(\min(x,y) \leq z) = 1 — P(x > z, y > z).
\)
Так как \(x\) и \(y\) независимы, то:
\(
P(\min(x,y) \leq z) = 1 — P(x > z) \cdot P(y > z).
\)
Подставляя ранее найденные значения:
\(
P(\min(x,y) \leq z) = 1 — (1-p)^z (1-r)^z.
\)

Теперь найдем вероятность того, что минимум равен \(z\):
\(
P(\min(x,y) = z) = P(\min(x,y) \leq z) — P(\min(x,y) \leq z-1).
\)
Подставим найденные выражения:
\(
P(\min(x,y) = z) = \left(1 — (1-p)^z (1-r)^z\right) — \left(1 — (1-p)^{z-1} (1-r)^{z-1}\right).
\)
Упрощая это выражение, получаем:
\(
P(\min(x,y) = z) = (1-p)^{z-1} (1-r)^{z-1} \cdot \left(1 — (1-p)(1-r)\right).
\)

Что и требовалось доказать.