ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 31.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

В некотором опыте наблюдают две независимые одинаково распределённые случайные величины \(X\) и \(Y\), принимающие конечное множество значений. Докажите, что для случайной величины \(Z = X — Y\) и произвольного числа \(d\) выполняется равенство \(P(Z = d) = P(Z = -d)\).

Случайные величины \(x\) и \(y\) независимые и имеют одинаковое распределение:
\(
z = x — y, \quad P(x = k) = P(y = k);
\)

Пусть \(a_i\) и \(b_i\) — элементы множеств \(x\) и \(y\):
\(
a_i — b_i = d, \quad b_i — a_i = -d;
\)

\(
P(z = d) = \sum P(x = a_i) \cdot P(y = b_i);
\)

\(
P(z = -d) = \sum P(y = a_i) \cdot P(x = b_i);
\)

\(
P(z = d) = P(z = -d);
\)

Что и требовалось доказать.

Случайные величины \(x\) и \(y\) независимые и имеют одинаковое распределение:
\(
z = x — y, \quad P(x = k) = P(y = k);
\)

Пусть \(a_i\) и \(b_i\) — элементы множеств \(x\) и \(y\):
\(
a_i — b_i = d, \quad b_i — a_i = -d;
\)

Рассмотрим вероятность того, что разность \(z\) равна \(d\):
\(
P(z = d) = P(x — y = d).
\)
Это можно выразить через вероятности \(x\) и \(y\):
\(
P(z = d) = \sum P(x = a_i) \cdot P(y = b_i),
\)
где \(b_i\) выбирается так, чтобы выполнялось условие \(a_i — b_i = d\).

Теперь рассмотрим вероятность того, что разность \(z\) равна \(-d\):
\(
P(z = -d) = P(x — y = -d).
\)
Аналогично, это можно выразить через вероятности \(y\) и \(x\):
\(
P(z = -d) = \sum P(y = a_i) \cdot P(x = b_i),
\)
где \(a_i\) выбирается так, чтобы выполнялось условие \(b_i — a_i = -d\).

Так как случайные величины \(x\) и \(y\) имеют одинаковое распределение, мы можем утверждать:
\(
P(z = d) = P(z = -d).
\)

Что и требовалось доказать.