ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 32.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

О независимых случайных величинах \(X\) и \(Y\) известно, что \(\sigma(X) = 4\), \(\sigma(Y) = 9\). Найдите стандартное отклонение случайной величины:
1) \(\sigma(X + Y)\);
2) \(\sigma(5Y — 2X)\).

О величинах \(x\) и \(y\) известно:
\(
\sigma(x) = 4, \quad \sigma(y) = 9;
\)

1)
\(
\sigma(x + y) = \sqrt{D(x + y)} = \sqrt{D(x) + D(y)} = \sqrt{\sigma^2(x) + \sigma^2(y)} = \sqrt{16 + 81} =
\)
\(
= \sqrt{97};
\)
Ответ: \(\sqrt{97}\).

2)
\(
\sigma(5y — 2x) = \sqrt{D(5y — 2x)} = \sqrt{D(5y) + D(-2x)} =
\)
\(
= \sqrt{5^2 \cdot D(y) + (-2)^2 \cdot D(x)} = \sqrt{25 \sigma^2(y) + 4 \sigma^2(x)} =
\)
\(
= \sqrt{25 \cdot 81 + 4 \cdot 16} = \sqrt{2025 + 64} = \sqrt{2089};
\)
Ответ: \(\sqrt{2089}\).

О величинах \(x\) и \(y\) известно:
\(
\sigma(x) = 4, \quad \sigma(y) = 9;
\)

1) Найдем стандартное отклонение суммы \(x + y\). Поскольку \(x\) и \(y\) независимы, дисперсия их суммы вычисляется по формуле:
\(
D(x + y) = D(x) + D(y).
\)
Стандартное отклонение вычисляется как корень из дисперсии:
\(
\sigma(x + y) = \sqrt{D(x + y)}.
\)
Подставим известные значения:
\(
D(x) = \sigma^2(x) = 4^2 = 16,
\)
\(
D(y) = \sigma^2(y) = 9^2 = 81.
\)
Теперь подставим в формулу:
\(
\sigma(x + y) = \sqrt{D(x) + D(y)} = \sqrt{16 + 81} = \sqrt{97}.
\)
Ответ: \(\sqrt{97}\).

2) Теперь найдем стандартное отклонение выражения \(5y — 2x\). Сначала найдем дисперсию выражения:
\(
D(5y — 2x) = D(5y) + D(-2x).
\)
Так как \(D(kX) = k^2 D(X)\), где \(k\) — это константа, получаем:
\(
D(5y) = 5^2 D(y) = 25 D(y),
\)
\(
D(-2x) = (-2)^2 D(x) = 4 D(x).
\)
Теперь подставим значения дисперсий:
\(
\sigma^2(y) = 9^2 = 81,
\)
\(
\sigma^2(x) = 4^2 = 16.
\)
Таким образом,
\(
D(5y — 2x) = 25 \cdot 81 + 4 \cdot 16 = 2025 + 64 = 2089.
\)
Теперь найдем стандартное отклонение:
\(
\sigma(5y — 2x) = \sqrt{D(5y — 2x)} = \sqrt{2089}.
\)
Ответ: \(\sqrt{2089}\).