ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 32.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \(X\) имеет биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\). Докажите, что \(D(X) = np(1 — p)\).

Величина \(x\) имеет биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\);

1) Для распределения Бернулли:
\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2;
\)
\(
D(x) = 0^2 \cdot q + 1^2 \cdot p — (0 \cdot q + 1 \cdot p)^2;
\)
\(
D(x) = p — p^2 = p(1 — p) = qp;
\)

2) Для данного распределения:
\(
x = x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n;
\)
\(
D(x) = D(x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n);
\)
\(
D(x) = D(x_1) + D(x_2) + \cdots + D(x_n);
\)
\(
D(x) = pq + pq + pq + \cdots + pq;
\)
\(
D(x) = npq = np(1 — p);
\)

Что и требовалось доказать.

Величина \(x\) имеет биномиальное распределение с параметрами \(n\) и \(p\).

1) Рассмотрим случай распределения Бернулли. Для случайной величины \(x\), принимающей значения 0 и 1, дисперсия определяется по формуле:
\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2.
\)

Теперь найдем \(M(x)\):
\(
M(x) = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p,
\)
где \(q = 1 — p\).

Теперь вычислим \(M(x^2)\):
\(
M(x^2) = 0^2 \cdot q + 1^2 \cdot p = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p.
\)

Теперь подставим значения в формулу для дисперсии:
\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2 = p — p^2 = p(1 — p) = qp.
\)

2) Теперь рассмотрим биномиальное распределение. Пусть
\(
x = x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n,
\)
где каждая \(x_i\) является независимой случайной величиной с распределением Бернулли с параметром \(p\).

По свойству дисперсии, для независимых случайных величин выполняется:
\(
D(x) = D(x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n) = D(x_1) + D(x_2) + D(x_3) + \cdots +
\)
\(
+ D(x_n).
\)

Так как каждая \(x_i\) имеет одинаковую дисперсию, то:
\(
D(x) = D(x_1) + D(x_2) + \cdots + D(x_n) = pq + pq + pq + \cdots + pq.
\)

Поскольку у нас \(n\) таких случайных величин, получаем:
\(
D(x) = n \cdot pq.
\)

Теперь подставим значение \(q = 1 — p\):
\(
D(x) = npq = np(1 — p).
\)

Что и требовалось доказать.