ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 32.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вероятность события \(A\) в некотором испытании равна \(p\). Проводят серию из \(n\) таких испытаний и подсчитывают частоту \(x_n = \frac{n_A}{n}\) события \(A\), где \(n_A\) — число испытаний в этой серии, в которых произошло событие \(A\). Докажите, что \(M(x_n) = p\) и \(D(x_n) = \frac{p(1 — p)}{n}\).

Вероятность события \(A\) равна \(p\);
Проводят серию из \(n\) испытаний:
\(
x_n = \frac{n_A}{n} = \frac{x}{n};
\)

Величина \(x = n_A\) распределена по биномиальному закону:
\(
M(x_n) = M\left(\frac{x}{n}\right) = \frac{1}{n} M(x);
\)
\(
M(x_n) = \frac{1}{n} \cdot pn = p;
\)
\(
D(x_n) = D\left(\frac{x}{n}\right) = \frac{1}{n^2} D(x);
\)
\(
D(x_n) = \frac{1}{n^2} npq = \frac{p(1-p)}{n};
\)

Что и требовалось доказать.

Вероятность события \(A\) равна \(p\). Проводят серию из \(n\) испытаний. Обозначим частоту события \(A\) как:
\(
x_n = \frac{n_A}{n} = \frac{x}{n},
\)
где \(n_A\) — это количество успешных испытаний, а \(x = n_A\).

Величина \(x\) распределена по биномиальному закону с параметрами \(n\) и \(p\). Для биномиально распределённой величины \(x\) математическое ожидание определяется как:
\(
M(x) = np.
\)

Теперь найдем математическое ожидание частоты \(x_n\):
\(
M(x_n) = M\left(\frac{x}{n}\right).
\)
Согласно свойству линейности математического ожидания, это можно записать как:
\(
M(x_n) = \frac{1}{n} M(x).
\)
Подставим значение \(M(x)\):
\(
M(x_n) = \frac{1}{n} \cdot np = p.
\)

Теперь найдем дисперсию \(x_n\). Дисперсия случайной величины, делённой на константу, вычисляется следующим образом:
\(
D(x_n) = D\left(\frac{x}{n}\right) = \frac{1}{n^2} D(x).
\)

Дисперсия биномиально распределённой величины \(x\) равна:
\(
D(x) = npq,
\)
где \(q = 1 — p\). Теперь подставим это значение в формулу для дисперсии частоты:
\(
D(x_n) = \frac{1}{n^2} npq.
\)

Таким образом, получаем:
\(
D(x_n) = \frac{1}{n^2} np(1 — p) = \frac{p(1 — p)}{n}.
\)

Что и требовалось доказать.