ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 32.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайные величины \(X\) и \(Y\) являются независимыми. Докажите, что \(D(XY) > D(X)D(Y)\).

Доказать неравенство:
\(
D(xy) \geq D(x) D(y);
\)

1) Зададим значения:
\(
M(x^2) = a, \quad M(x) = b, \quad M(y^2) = c, \quad M(y) = d;
\)
\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2 = (a — b^2) \geq 0;
\)
\(
D(y) = M(y^2) — (M(y))^2 = (c — d^2) \geq 0;
\)

2) Левая часть неравенства:
\(
D(xy) = M((xy)^2) — (M(xy))^2 = M(x^2) M(y^2) — (M(x) M(y))^2 =
\)
\(
= ac — b^2 d^2;
\)

3) Правая часть неравенства:
\(
D(x) D(y) = \bigl(M(x^2) — (M(x))^2\bigr) \bigl(M(y^2) — (M(y))^2\bigr) =
\)
\(
= M(x^2) M(y^2) — M(x^2)(M(y))^2 — M(y^2)(M(x))^2 + (M(xy))^2 =
\)
\(
= ac — a d^2 — c b^2 + b^2 d^2;
\)

4) Найдём разность:
\(
D(xy) — D(x) D(y) = a d^2 + c b^2 — 2 b^2 d^2 =
\)
\(
= d^2 (a — b^2) + b^2 (c — d^2) \geq 0;
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать неравенство:
\(
D(xy) \geq D(x) D(y);
\)

1) Зададим значения:
Обозначим
\(
M(x^2) = a, \quad M(x) = b, \quad M(y^2) = c, \quad M(y) = d.
\)
Тогда дисперсии \(x\) и \(y\) можно выразить через математические ожидания:
\(
D(x) = M(x^2) — (M(x))^2 = a — b^2 \geq 0;
\)
\(
D(y) = M(y^2) — (M(y))^2 = c — d^2 \geq 0.
\)

2) Левая часть неравенства:
Дисперсия произведения двух случайных величин \(x\) и \(y\) определяется как:
\(
D(xy) = M((xy)^2) — (M(xy))^2.
\)
Поскольку \(x\) и \(y\) независимы, можно записать:
\(
D(xy) = M(x^2) M(y^2) — (M(x) M(y))^2 = ac — b^2 d^2.
\)

3) Правая часть неравенства:
Теперь выразим произведение дисперсий:
\(
D(x) D(y) = \bigl(M(x^2) — (M(x))^2\bigr) \bigl(M(y^2) — (M(y))^2\bigr).
\)
Раскроем скобки:
\(
D(x) D(y) = M(x^2) M(y^2) — M(x^2)(M(y))^2 — M(y^2)(M(x))^2 + (M(xy))^2.
\)
Подставим значения:
\(
D(x) D(y) = ac — a d^2 — c b^2 + b^2 d^2.
\)

4) Найдём разность:
Теперь найдем разность между левой и правой частью неравенства:
\(
D(xy) — D(x) D(y) = ac — b^2 d^2 — (ac — a d^2 — c b^2 + b^2 d^2).
\)
Упрощаем это выражение:
\(
D(xy) — D(x) D(y) = a d^2 + c b^2 — 2 b^2 d^2.
\)

5) Выразим разность в более удобной форме:
\(
= d^2 (a — b^2) + b^2 (c — d^2).
\)

Так как \(D(x)\) и \(D(y)\) неотрицательны, то \(a — b^2 \geq 0\) и \(c — d^2 \geq 0\). Следовательно, обе части разности неотрицательны, что приводит к:
\(
d^2 (a — b^2) + b^2 (c — d^2) \geq 0.
\)

Таким образом, мы доказали, что:
\(
D(xy) \geq D(x) D(y).
\)

Что и требовалось доказать.