ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 33.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Монету подбрасывают \(n\) раз и подсчитывают частоту \(x_n\) выпадения герба. Можно ли утверждать, что вероятность события \(x_n = \frac{1}{2}\) неограниченно приближается к \(0\) с ростом числа испытаний \(n\)?

Монету подбрасывают \(n\) раз;
\(x_n\) — частота выпадения герба:
\(
p = \frac{1}{2} = 0{,}5;
\)

1) Если \(n\) — нечётное число, тогда:
\(
x_n = \frac{k}{n}, \quad n \neq 2k, \quad x_n \neq \frac{1}{2};
\)
\(
P\left(x_n = \frac{1}{2}\right) = 0;
\)

2) Если \(n\) — чётное число, тогда:
\(
P\left(x_n = \frac{1}{2}\right) = C_n^{\frac{n}{2}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{C_n^{n/2}}{2^n};
\)

3) Если \(n = 2\), тогда:
\(
C_2^1 = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = 2;
\)
\(
2^2 = 4 > C_2^1;
\)

4) Если \(n = 2k + 2\), тогда:
\(
C_{2k+2}^{k+1} < 2^{2k+2};
\)
\(
\frac{(2k + 2)!}{(k+1)! (k+1)!} < 2^2 \cdot 2^{2k};
\)
\(
\frac{(2k + 2)(2k + 1)(2k)!}{(k+1)k! \cdot (k+1)k!} < 4 \cdot 2^{2k};
\)
\(
\frac{2(2k + 1)}{4(k+1)} \cdot C_{2k}^k < 2^{2k};
\)
\(
\frac{2k + 1}{2k + 2} \cdot C_{2k}^k < 2^{2k};
\)

Ответ: да.

Монету подбрасывают \(n\) раз;
\(x_n\) — частота выпадения герба, которая определяется как:
\(
x_n = \frac{k}{n},
\)
где \(k\) — количество выпадений герба, а \(n\) — общее количество подбрасываний. Вероятность выпадения герба в каждом подбрасывании равна:
\(
p = \frac{1}{2} = 0{,}5.
\)

1) Если \(n\) — нечётное число, тогда:
\(
x_n = \frac{k}{n}, \quad n \neq 2k, \quad x_n \neq \frac{1}{2}.
\)
В этом случае вероятность того, что частота равна \( \frac{1}{2} \), равна нулю:
\(
P\left(x_n = \frac{1}{2}\right) = 0.
\)

2) Если \(n\) — чётное число, тогда:
\(
P\left(x_n = \frac{1}{2}\right) = C_n^{\frac{n}{2}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{C_n^{n/2}}{2^n},
\)
где \(C_n^{k}\) — это биномиальный коэффициент, представляющий количество способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) испытаний.

3) Если \(n = 2\), тогда:
\(
C_2^1 = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = 2.
\)
Также:
\(
2^2 = 4 > C_2^1.
\)

4) Если \(n = 2k + 2\), тогда:
\(
C_{2k+2}^{k+1} < 2^{2k+2}.
\)
Это можно записать как:
\(
\frac{(2k + 2)!}{(k+1)! (k+1)!} < 2^2 \cdot 2^{2k}.
\)
После упрощения получаем:
\(
\frac{(2k + 2)(2k + 1)(2k)!}{(k+1)k! \cdot (k+1)k!} < 4 \cdot 2^{2k}.
\)
Далее можно записать:
\(
\frac{2(2k + 1)}{4(k+1)} \cdot C_{2k}^k < 2^{2k}.
\)
И, наконец, это приводит к неравенству:
\(
\frac{2k + 1}{2k + 2} \cdot C_{2k}^k < 2^{2k}.
\)

Ответ: да.