ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 34.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что для любого положительного числа о выполняется неравенство
\(
P(|X — \mu| < \varepsilon) > 1 — \frac{D}{\varepsilon^2}
\)

где \( X \) — случайная величина, \( \mu \) — математическое ожидание, \( D \) — дисперсия, и \( \varepsilon \) — любое положительное число.

Дана случайная величина \(x\):
\(
M(x) = \mu, \quad D(x) = D;
\)

1) По свойству вероятностей:
\(
P(\overline{A}) = 1 — P(A);
\)
\(
P(A) \leq p, \quad P(\overline{A}) \geq 1 — p;
\)

2) По неравенству Чебышёва:
\(
P(|x — \mu| > \delta) \leq \frac{D}{\delta^2};
\)
\(
P(|x — \mu| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2};
\)

Что и требовалось доказать.

Дана случайная величина \(x\):
\(
M(x) = \mu, \quad D(x) = D;
\)

1) По свойству вероятностей:
\(
P(\overline{A}) = 1 — P(A);
\)
Это свойство говорит о том, что вероятность противоположного события \( \overline{A} \) равна единице минус вероятность события \( A \).

Также мы имеем:
\(
P(A) \leq p, \quad P(\overline{A}) \geq 1 — p;
\)
Здесь подразумевается, что вероятность события \( A \) не превышает некоторую величину \( p \), а вероятность его противоположного события \( \overline{A} \) не меньше \( 1 — p \).

2) По неравенству Чебышёва:
\(
P(|x — \mu| > \delta) \leq \frac{D}{\delta^2};
\)
Это неравенство показывает, что вероятность того, что случайная величина \( x \) отклоняется от своего математического ожидания \( \mu \) на величину больше \( \delta \), не превышает дроби, где в числителе стоит дисперсия \( D \), а в знаменателе квадрат отклонения \( \delta^2 \).

Также верно:
\(
P(|x — \mu| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2};
\)
Это неравенство указывает на то, что вероятность того, что случайная величина \( x \) отклоняется от своего математического ожидания \( \mu \) на величину не больше \( \delta \), не меньше единицы минус дробь, где в числителе дисперсия \( D \), а в знаменателе квадрат отклонения \( \delta^2 \).

Что и требовалось доказать.