ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 34.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

(Правило трёх сигм.) Пусть случайная величина \( x \) имеет математическое ожидание \( \mu \) и стандартное отклонение \( \sigma \). Докажите, что с вероятностью, не меньшей 88\%, случайная величина \( x \) принимает значения, удовлетворяющие двойному неравенству

\(
\mu — 3\sigma < x < \mu + 3\sigma.
\)

Дана случайная величина \(x\):
\(
M(x) = \mu, \quad \sigma(x) = \sigma;
\)

1) Дисперсия значений:
\(
D(x) = (\sigma(x))^2 = \sigma^2;
\)

2) Пусть \(\delta = 3\sigma\), тогда:
\(
P(|x — \mu| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2};
\)
\(
P(|x — \mu| \leq 3\sigma) \geq 1 — \frac{\sigma^2}{9\sigma^2};
\)
\(
P(-3\sigma \leq x — \mu \leq 3\sigma) \geq 1 — \frac{1}{9};
\)
\(
P(\mu — 3\sigma \leq x \leq \mu + 3\sigma) \geq \frac{8}{9};
\)

Что и требовалось доказать.

Дана случайная величина \( x \):
\(
M(x) = \mu, \quad \sigma(x) = \sigma;
\)

1) Дисперсия значений:
\(
D(x) = (\sigma(x))^2 = \sigma^2;
\)
Здесь \( D(x) \) обозначает дисперсию случайной величины \( x \), которая равна квадрату стандартного отклонения \( \sigma \).

2) Пусть \( \delta = 3\sigma \), тогда:
\(
P(|x — \mu| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2};
\)
Это неравенство говорит о том, что вероятность того, что значение случайной величины \( x \) отклоняется от своего математического ожидания \( \mu \) не более чем на \( \delta \), будет не меньше, чем \( 1 — \frac{D}{\delta^2} \).

Подставим значение \( \delta \):
\(
P(|x — \mu| \leq 3\sigma) \geq 1 — \frac{\sigma^2}{9\sigma^2};
\)
Здесь мы заменили \( D \) на \( \sigma^2 \) и \( \delta \) на \( 3\sigma \). В результате получаем дробь, где в числителе стоит дисперсия, а в знаменателе — квадрат значения \( 3\sigma \), который равен \( 9\sigma^2 \).

Упрощая дробь, получаем:
\(
P(-3\sigma \leq x — \mu \leq 3\sigma) \geq 1 — \frac{1}{9};
\)
Это неравенство показывает, что вероятность того, что отклонение \( x — \mu \) находится в пределах от \( -3\sigma \) до \( 3\sigma \), будет не меньше, чем \( 1 — \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \).

Таким образом, мы можем записать:
\(
P(\mu — 3\sigma \leq x \leq \mu + 3\sigma) \geq \frac{8}{9};
\)
Это означает, что с вероятностью не менее \( \frac{8}{9} \) случайная величина \( x \) будет находиться в интервале от \( \mu — 3\sigma \) до \( \mu + 3\sigma \).

Что и требовалось доказать.