ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 34.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Администрация школы планирует разбирать на педсовете поведение ученика, который часто опаздывает на первый урок. Известно, что

\(
M(x) = 2 \text{ мин}, \quad \sigma(x) = 0.5 \text{ мин},
\)

где \( x \) — время опоздания ученика (если ученик приходит вовремя, то \( x = 0 \)).

1) Поддержите администрацию школы, доказав, что ученик в среднем опаздывает по крайней мере 15 раз из 16.

2) Поддержите ученика, доказав, что он практически никогда не опаздывает больше, чем на 5 минут — не чаще, чем 4 раза в год (в учебном году 170 учебных дней).

Дана случайная величина \(x\):
\(
M(x) = 2, \quad \sigma(x) = 0,5;
\)
\(
D(x) = (\sigma(x))^2 = 0,25;
\)

1) Опаздывает не менее 15 раз из 16:
\(
P(|x — \mu| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2}, \quad \delta = 4\sigma(x);
\)
\(
P(|x — 2| \leq 4\sigma) \geq 1 — \frac{\sigma^2}{16\sigma^2};
\)
\(
P(|x — 2| \leq 2) \geq 1 — \frac{1}{16};
\)
\(
P(-2 \leq x — 2 \leq 2) \geq \frac{15}{16};
\)
\(
P(x \geq 0) \geq \frac{15}{16};
\)

Что и требовалось доказать.

2) Опаздывает более, чем на 5 мин:
\(
P(|x — \mu| > \delta) \leq \frac{D}{\delta^2}, \quad \delta = 6\sigma(x);
\)
\(
P(|x — 2| > 6\sigma) \leq \frac{\sigma^2}{36\sigma^2};
\)
\(
P(|x — 2| > 3) \leq \frac{1}{36};
\)
\(
P(x < -1 \text{ или } x > 5) \leq \frac{1}{36};
\)
\(
P(x > 5) \leq \frac{1}{36} \cdot 36 = 4;
\)

Что и требовалось доказать.

Дана случайная величина \( x \):
\(
M(x) = 2, \quad \sigma(x) = 0,5;
\)
\(
D(x) = (\sigma(x))^2 = 0,25;
\)

1) Опаздывает не менее 15 раз из 16:
Для доказательства этого утверждения воспользуемся неравенством Чебышёва. Мы знаем, что:

\(
P(|x — \mu| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2}, \quad \delta = 4\sigma(x);
\)
Подставим значение \( D \) и \( \delta \):

\(
P(|x — 2| \leq 4\sigma) \geq 1 — \frac{\sigma^2}{16\sigma^2};
\)
Здесь \( \sigma^2 = 0,25 \), поэтому:

\(
P(|x — 2| \leq 2) \geq 1 — \frac{1}{16};
\)
Упрощая, получаем:

\(
P(-2 \leq x — 2 \leq 2) \geq \frac{15}{16};
\)
Это означает, что с вероятностью не менее \( \frac{15}{16} \) случайная величина \( x \) будет находиться в пределах от \( 0 \) до \( 4 \):

\(
P(x \geq 0) \geq \frac{15}{16};
\)

Что и требовалось доказать.

2) Опаздывает более, чем на 5 мин:
Для этого утверждения также воспользуемся неравенством Чебышёва. Мы имеем:

\(
P(|x — \mu| > \delta) \leq \frac{D}{\delta^2}, \quad \delta = 6\sigma(x);
\)
Подставляем значение \( D \):

\(
P(|x — 2| > 6\sigma) \leq \frac{\sigma^2}{36\sigma^2};
\)
Подставляя значение \( \sigma^2 = 0,25 \):

\(
P(|x — 2| > 3) \leq \frac{1}{36};
\)
Это означает, что вероятность того, что ученик опоздает более чем на 5 минут (то есть \( x < -1 \) или \( x > 5 \)), составляет:

\(
P(x < -1 \text{ или } x > 5) \leq \frac{1}{36};
\)
Таким образом:

\(
P(x > 5) \leq \frac{1}{36} \cdot 36 = 4;
\)

Что и требовалось доказать.